Wie misst man die Krümmung kkk in der FLRW-Metrik?

Wie misst man den Krümmungsparameter? k in der FLRW-Metrik?

D S 2 = − C 2 D T 2 + A 2 ( T ) [ D R 2 1 − k R 2 + R 2 D θ 2 + R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ]
Was ist insbesondere die bequeme Gleichung (involving k ), die zum Messen verwendet werden/können k ?

BEARBEITEN Ich suche nach einer Antwort, die die Messung der Krümmung erklärt k mit der gleichen Klarheit wie die Messung der Federkonstante κ aus der eindimensionalen einfachen harmonischen Gleichung F = − κ X dh nachdem die aufgebrachte Kraft gemessen wurde F (kann mit einer Federwaage erfolgen) und dem entsprechenden Hubraum X (nach einem Metermaß) kann man messen κ . Ebenso, wenn die Gleichung die Krümmung beinhaltet k enthält nicht triviale physikalische Größen (wie die Komponenten des Riemann-Krümmungstensors usw.), würde ich gerne wissen, wie jede von ihnen gemessen wird.

Antworten (2)

Dies ist eine sehr schwierige Frage, die im Detail zu beantworten ist, da mehrere Seiten Mathematik erforderlich sind, um die erforderlichen Formeln abzuleiten (es gibt keine einfache Anpassung wie F = − k X wie du vorgeschlagen hast)

Ich werde die Formel nicht herleiten (sie kann z. B. in Dodelson gefunden werden), aber nach einiger Arbeit erhalten Sie:

Δ ( M − M ) = 5 Protokoll ⁡ { ( C H 0 k Ω T Ö T A l − 1 ( 1 + z ) ) S k ( Ω T Ö T A l − 1 k ∫ 0 z D z ' ( 1 + z ' ) ( 1 + z ' ) ( 1 − Ω Λ ) + Ω Λ / ( 1 + z ' ) 2 ) } − 5 Protokoll ⁡ ( 1 2 ( ( 1 + z ) 2 − 1 ) )

Wo Δ ( M − M ) = ( M − M ) ' R e A l '   u N ich v e R S e − ( M − M ) e M P T j   u N ich v e R S e . M kann durch Verwendung von Standardkerzen wie Supernovae Typ Ia erhalten werden, es ist dann einfach zu berechnen ( M − M ) e M P T j   u N ich v e R S e über eine Gleichung ähnlich der obigen und M ' R e A l '   u N ich v e R S e ist einfach die Größe, die wir messen. Deshalb Δ ( M − M )

S k ( . . . ) = S ich N H ( . . . ) , S ich N ( . . . ) Ö R 1 je nach Wert von k

Ω Λ , Ω T Ö T A l = Ω λ + Ω M A T T e R , H 0 und k bleiben unbekannt.

Der nächste Schritt besteht darin, viele Standardkerzen bei verschiedenen Rotverschiebungen z zu messen und deren Darstellung aufzuzeichnen Δ ( M − M ) Beziehung als Funktion von z. Dies sollte der obigen Beziehung gehorchen. Es muss nur noch ein passendes Skript ausgeführt werden, das zu der oben genannten Funktion passt Δ ( M − M ) für verschiedene Werte von k , Ω Λ , . . . die beste Anpassung gibt uns die beobachtete Kosmologie.

In der Abbildung unten sehen Sie eine solche Anpassung aus einem Projekt, das ich im vergangenen Semester gemacht habe, wo wir k für einen Datensatz berechnen mussten.Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Offensichtlich sind die Anpassungen aufgrund von Entartungen in der Anpassung schwer zu erstellen, und Unsicherheitsdiagramme können wie folgt erstellt werden:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Meine Ergebnisse für die obige Anpassung waren: Ω M A T T e R = 0,286 ± 0,031 , Ω Λ = 0,721 ± 0,025 , H 0 ( k M / S / M P C ) = 70.3 ± 2.58 was mit k = 0 vereinbar ist.

Ich hoffe das hat geholfen :)

Vielleicht könnten Sie sagen, was Ihnen am besten passt k ist und seine Unsicherheit? Sind Sie auch sicher, dass Ihre Aussage nicht sein sollte S k ( . . . ) = Sünde ⁡ ( . . . ) , Sünde ⁡ ( . . . )  oder  1 eher was du hast? Nach dem Aussehen Ihres ersten Diagramms scheinen Sie ein Ergebnis zu erhalten, das " k kann nicht größer als x sein, mit einer Art Ergebnis der Ungewissheit y, angesichts der Spreads im Hoch z Daten. Ist das so? So würden auch echte Astronomen beim Messen vorgehen k ; Ich könnte mir vorstellen, dass es verschiedene Methoden gibt.
Ich habe meine Ergebnisse bearbeitet (ich kann mein Endergebnis jedoch nicht auf k finden). Und in der Tat haben Sie recht S k = S ich N , S ich N H Ö R 1 Ich habe mich geirrt ... Nun, sobald Sie Ihre kosmologischen Parameter haben, ist es nur eine Frage, k aus ihnen herauszuholen, und tatsächlich erhalten Sie eine Streuung des Ergebnisses, aber ich scheine es verloren zu haben ... Soweit ich weiß, ist das so die am meisten akzeptierte Methode zum "Anpassen" von Kosmologien an Datensätze, da Sie damit berücksichtigen können, was vor langer Zeit passiert ist, wenn Sie bei diesen Redshits Standardkerzen finden. Die aktuelle Forschung zielt darauf ab, diese Objekte mit hoher Rotverschiebung zu finden.
Schade, dass Sie es verloren haben: Es ist eine großartige, praktische Antwort. Bitte posten Sie es, wenn Sie es finden.
Danke, das freut mich :) Wenn ich demnächst mal Zeit habe suche ich danach und markiere dich im Kommentar. Aber meine Masterarbeit schreit mich dieser Tage laut an...

Sie messen einfach das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Radius.

Nehmen Sie eine räumliche Untermannigfaltigkeit, und der Einfachheit halber nehmen wir A = 1 (Die Einheiten des radialen Abstandes können immer frei gewählt werden A = 1 wie jede gewählte Zeit). Dann wird die räumliche Metrik zu:

D ℓ 2 = D R 2 1 − k R 2 + R 2 D θ 2 + R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2

Zeichne einen Kreis mit dir selbst am Ursprung. Um den Umfang des Kreises zu erhalten, integrieren wir um den Äquatorwinkel ϕ unter Beibehaltung R fest und θ fest bei π / 2 . Seit D R = D θ = 0 die Metrik wird:

D ℓ 2 = R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2

Der Umfang ist dann:

C = ∫ 0 2 π R D ϕ = 2 π R

was uns nicht zu sehr überraschen sollte :-)

Jetzt nehmen wir ein Maßband und messen den Abstand zum Kreis aus. In diesem Prozess halten wir θ Und ϕ fest damit D θ = D ϕ = 0 unsere Metrik wird also:

D ℓ 2 = D R 2 1 − k R 2

Die Distanz, die wir messen, ist also:

R = ∫ 0 R D R 1 − k R 2

Das Integral hängt vom Vorzeichen ab k . Zum Positiven k (geschlossenes Universum) erhalten wir:

R = Sünde − 1 ⁡ ( k R ) k

und für negativ k (offenes Universum) erhalten wir:

R = Sünde − 1 ⁡ ( | k | R ) | k |

Finden k einfach ersetzen R = C / 2 π , Wo C unser experimentell gemessener Umfang ist, und lösen Sie die resultierende Gleichung für k .

Das ist ein netter und einfacher Ansatz, aber ich kann mir das nicht in einem experimentellen Kontext vorstellen, dafür müsste dein Kreis unglaublich groß sein. Und Sie haben auch vergessen, dass k so neu skaliert wird, dass k = 0 oder +-1 ist. Ihre endgültige Formel kann also keine positiven und negativen Krümmungen unterscheiden.
@gertian: Ja, das ist keine Messung, die Sie in der Praxis durchführen könnten. Ich stelle fest, dass Ihre Antwort erklärt, wie die Messung unter Verwendung echter kosmologischer Daten durchgeführt werden könnte, und ich denke, es ist eine sehr gute Antwort. Ich denke, unsere Antworten sind ergänzend, da meine eher eine prinzipielle Antwort ist, während Ihre praktischer ist. Welcher SRS bevorzugt wird, hängt davon ab, was seine Motivation für die Frage ist. Übrigens, während wir normalerweise neu skalieren, um zu setzen k = 0 , ± 1 das müssen wir nicht.
Diese Mathematik scheint nicht zu funktionieren. Ich stimme Ihrer Herleitung zu, aber wenn ich die Berechnungen tatsächlich auf einer Kugel durchführe, bekomme ich mit Ihrer Formel die falsche Antwort. Wenn ich grundlegende Trigonometrie verwende, erhalte ich diese Formel, die mir die richtige Antwort gibt:
R = k − 1   S ich N ( k   R )
Irgendeine Idee, warum es einen Unterschied zwischen der Formel gibt, die Sie mit der Metrik erhalten, und der Formel, die mit trig ausgearbeitet wurde?
Wie misst man die Krümmung kkk in der FLRW-Metrik?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v