Wie funktioniert diamagnetische Levitation?

Ein ungleichmäßiges Magnetfeld stößt ein Objekt ab, bei dem Diamagnetismus das vorherrschende magnetische Verhalten ist. Wir definieren Magnetschwebebahn als den Prozess, bei dem ein Magnetfeld ein Objekt auf eine bestimmte Höhe anhebt und es dort im Gleichgewicht mit der Schwerkraft hält. Mit anderen Worten, wir wollen, dass die nach oben gerichtete Magnetkraft die nach unten gerichtete Gravitationskraft ausgleicht:

$$(\mathbf m\cdot\nabla)\mathbf B=\rho V\mathbf g$$ Das induzierte magnetische Moment $\mathbf m$in einem Volumenobjekt$V$und magnetische Suszeptibilität $\chi$wenn ein angelegtes Magnetfeld platziert wird$\mathbf B$Ist$\frac\chi{\mu_0}V\mathbf B$. Von nun an verzichte ich auf die Vektornotation und nehme alle Bewegungen entlang der (vertikalen) z-Achse an. Am Gleichgewichtspunkt$z_0$, die erforderliche Magnetkraft ist dann $$F_B(z_0)=\frac\chi{\mu_0}VB(z_0)\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\bigg|_{z_0}\overset{!}{=}\rho Vg$$ $$B(z_0)\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\bigg|_{z_0}\overset{!}{=}\frac{\mu_0}\chi\rho g\tag{1}$$ Natürlich,$B(z')\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\big|_{z'}>\frac{\mu_0}\chi\rho g$für$0<z'<z_0$während$B(z')\ \frac{\mathrm dB}{\mathrm dz}\big|_{z'}<\frac{\mu_0}\chi\rho g$für$z_0<z'$so dass kleine Abweichungen vom Gleichgewicht eine einfache harmonische Bewegung erzeugen und sicherstellen, dass das Objekt an einem Ort schwebt.

Die meisten Setups verwenden eine Variation einer Magnetspulenstruktur, die so ausgelegt ist, dass die Magnetfeldstärke mit der Höhe streng abnimmt - dies deutet darauf hin, dass ein Wendepunkt auf dem$B(z){-}z$Graph ist eine geeignete Höhe für das Gleichgewicht, da wir die SHM-Wiederherstellungsbedingung oben auferlegen können. Die Feldabnahme kann beispielsweise durch Änderung der Spulendichte in der Magnetspule in der Höhe reguliert werden$z$, ungefähr durch die Beziehung$\mathrm dB = \mu_0 I \lambda\ \mathrm dz$. Sobald ein bestimmtes Setup kalibriert ist, ist dieses Dropoff-Profil tatsächlich unabhängig von der Feldstärke an der Basis, sodass dieser freie Parameter optimiert werden kann$B_0$(z. B. durch Änderung des Stroms durch die Magnetspule) erzeugt nur eine vertikale Skalierung in der$B(z){-}z$Graph. Das bedeutet, dass wir eine Maximierung der Effizienz anstreben können, ohne wiederholte Messungen des Feldgradienten durchführen zu müssen.

Hier ist ein Magnetfeldprofil in Desmos. Falls es nicht klar ist, die rote Kurve zeigt die Magnetfeldstärke in verschiedenen Höhen, wobei "Peak" die maximale Feldstärke an der Basis des Aufbaus bezeichnet, "Gleichgewichtshöhe" die Z-Koordinate des Wendepunkts und$\mathrm dB/\mathrm dz$ist die Steigung der violetten Linie. Wie zu sehen ist, erlaubt uns die Form der meisten magnetischen Profile, eine genaue linearisierte Analyse am Wendepunkt durchzuführen.

Schweben eines Menschen

Annäherung an die magnetische Spitzenfeldstärke in einem Höhenaufbau$z$:

$$\frac12\frac{\mathrm d(B(z)^2)}{\mathrm dz}\overset{!}{=}\mu_0 g\frac{\rho}{\chi} \\\Delta(B^2)\approx2\mu_0 g\frac{\rho}{\chi}\Delta z$$ $$B\sim\sqrt{z}\tag{2}$$ Aus Gleichung$(1)$Wir sehen, dass das erforderliche Magnetfeldprofil interessanterweise nicht von der Masse des Objekts abhängt, sondern nur von seiner Dichte und magnetischen Suszeptibilität. Es ist bekannt, dass die Dichte eines Menschen in etwa der von Wasser entspricht$1000\ \mathrm{kg/m^3}$, obwohl wir für eine detailliertere Analyse die Knochen-, Muskel- und Fettdichte berücksichtigen würden. Es ist etwas schwieriger, eine verbindliche Quelle für den Wert der magnetischen Suszeptibilität des Volumens zu finden, aber wir können ihn wieder ungefähr auf den Wert von Wasser schätzen$-9.0\times10^{-6}$. Diese Zahlen würden bei den meisten Lebewesen ziemlich einheitlich sein und die rechte Seite von festlegen$(1)$um herum$1400\ \mathrm{T^2/m}$. Man könnte also naiv denken, dass ein ähnlicher Aufbau wie beim Frosch-Schwebe-Experiment verwendet wird${\sim}16\text{ T}$sollte auch in der Lage sein, Menschen (und tatsächlich die meisten Säugetiere / Amphibien) schweben zu lassen.

Das einzige Problem ist die Höhe des Feldes. Aus unserer Annäherung in$(2)$, sehen wir, dass die notwendige magnetische Spitzenstärke ungefähr mit der Quadratwurzel der Feldhöhe variieren muss. Da ein Mensch in allen Dimensionen viel größer ist als ein Frosch, würde man einen größeren Aufbau benötigen, um einen solchen Gradienten aufrechtzuerhalten, was automatisch bedeutet, dass wir einen größeren benötigen würden$B_0$. Da ein aufrechter Mensch etwa 30-mal so groß ist wie der durchschnittliche Versuchsfrosch, müsste die maximale Magnetfeldstärke in etwa liegen$16\sqrt{30}\approx88\text{ T}$, mit einer entsprechenden Obergrenze des Feldgradienten im Gleichgewicht von$1400/88\approx16\ \mathrm{T/m}$.

Man kann dies abmildern, indem man das Subjekt horizontal hinlegt, aber dies würde einen Solenoiden mit einem entsprechend größeren Radius erfordern, der wiederum mehr Energie erfordern würde, um dasselbe Feld aufrechtzuerhalten, was die ohnehin erbärmliche experimentelle Finanzierung erschöpft.

Praktische Überlegungen

Für einen Theoretiker gibt es absolut keine ethischen Überlegungen. Praktisch ist jedoch die Zerbrechlichkeit des menschlichen Körpers ein Ärgernis: Magnetfeldern von oben ausgesetzt zu sein$8\text{ T}$selbst für kurze Zeit ist unglaublich gefährlich für den Menschen. Für den Uneingeweihten beträgt das Magnetfeld der Erde , das ausreicht, um Kompassnadeln zu drehen, etwa 50 Mikrotesla , und selbst ein leistungsstarker MRT-Scanner hat nur eine Stärke von$1.5\text{ T}$. Darüber hinaus kann ein zu großer Magnetfeldgradient das Objekt in unterschiedlichem Ausmaß spaghettifizieren.

Es wäre sicherlich möglich, dies durch clevere Technik zu umgehen, aber in unserer vereinfachten Version einer Person, die in einem Solenoid schwebt, scheinen die Einschränkungen unüberwindbar: Wir brauchen

1. ein Gleichgewicht an einem Wendepunkt
2. eine basale Feldstärke$B_0<8\text{ T}$
3. ein Magnetfeldgradient von$1440/B_0>180\ \mathrm{T/m}$auf Gleichgewichtshöhe
4. Da selbst ein horizontaler Mensch ein ausgedehnter Körper ist, ein ausreichend großer Stabilitätsbereich, um eine Rückstellkraft auf die maximale und minimale vertikale Ausdehnung des Körpers zuzulassen und ihn im Gleichgewicht zu halten

Die zweite Bedingung impliziert die dritte, aber die Bedingungen 3 und 4 sind einander entgegengesetzt: Ein scharfer Gradient schließt offensichtlich einen großen Stabilitätsbereich aus: Eine winzige Abweichung vom Gleichgewicht erzeugt anharmonische Schwingungen, die den Körper unvorhersehbar und spektakulär aus dem Gleichgewicht bringen Gleichgewicht. Wir haben also einen sehr offensichtlichen Kompromiss zwischen der Sicherheit des Subjekts (der maximalen Magnetfeldstärke) und der Wirksamkeit des Aufbaus (der Höhenbereich für die Stabilität). Das Solenoidsystem mit$B_0=88\text{ T}$ist aber sehr effizient, da ein Gefälle von$16\ \mathrm{T/m}$hat eine hohe stabile Region, die einem liegenden Menschen passen kann, wodurch der Druck über und unter den Körperoberflächen als harmonische Rückstellkraft zum Gleichgewichtspunkt wirken kann.

Abgesehen von der Machbarkeit dieses Spielzeugmodells müssen wir hinzufügen, dass es keine "eine" (Spitzen-)Magnetfeldstärke gibt, die funktioniert - Sie können die Spitzenmagnetfeldstärke zum Preis einer proportionalen Erhöhung des Gradienten und damit einer Verringerung des Stabilitätsbereichs verringern ( vorausgesetzt natürlich, dass ein beträchtlicher Teil des Objekts noch darin verbleibt).

Hier haben wir eine extrem einfache Analyse verwendet, die weder den stabilen Bereich rigoros berechnet noch die seitliche Stabilität berücksichtigt (siehe Originalarbeit von Geim ) . Heuristisch gesehen läuft die Bestimmung des stabilen Bereichs darauf hinaus, den Gültigkeitsbereich der obigen einfachen harmonischen Bedingung über Energieargumente zu finden.