Winkelgeschwindigkeit im zentralen Kraftfeld

Betrachten Sie für die Bewegung in einem zentralen Kraftfeld ein rotierendes Referenzsystem, das durch die Euler-Winkel gekennzeichnet ist$\alpha$,$\beta$,$\gamma$verbunden mit der Drehung des Rahmens von kartesischen Koordinaten notwendig, um die auszurichten$z$Achse des Laborrahmens zum Teilchendrehimpuls$\vec{l}$und das$y$Achse des Laborrahmens mit der$\vec{r}$Vektor, der die momentane Position eines Teilchens in Bezug auf das Kraftzentrum angibt.

$$\dot{\gamma}=\frac{l}{mr^2}$$ Und $\alpha$, $\beta$sind konstant.

Geschwindigkeit eines Teilchens (im Kugelkoordinatensystem innerhalb des Laborrahmens; ich meine$x=r\sin\theta\cos\phi$, usw.) ist

$$\vec{v}~=~v_r\vec{e}_r+v_\theta\vec{e}_\theta+v_\phi\vec{e}_\phi=~\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{e}_\theta+r\sin\theta\dot{\phi}\vec{e}_\phi.$$ $$v_r=\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{l^2}{2mr^2}\right)},$$ Wo $E$ist Energie eines Teilchens, $m$es ist Masse und $l=|\vec{l}|$. Ich möchte ausdrücken $v_\theta$Und $v_\phi$in Bezug auf Variablen eines rotierenden Bezugssystems.

ich habe das gefunden

$$x=-r(\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma),$$ $$y=r(-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma),$$ $$z=r\sin\beta\sin\gamma.$$ Weiter ersetze ich es durch $$\theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},$$ Und $$\phi=\arctan\frac{y}{x}$$ und nehmen Sie die Ableitung in Bezug auf $t$. Endlich ausdrücken $\sin\theta$in Bezug auf neue Variablen $$\sin^2\theta=\frac{x^2+y^2}{r^2}=\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma$$ Ich bekomme $$v_\theta~=~-r\frac{\sin\beta\cos\gamma}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}}\dot{\gamma}$$ Und $$v_\phi~=~\pm r\frac{\cos\beta}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+cos^2\gamma}}\dot{\gamma},$$ ( $\pm$ist wegen $\sin\theta$).

Meine Frage ist: sollte es nicht sein

$$\sqrt{v_\theta ^2 +v_\phi ^2}~=~r\dot{\gamma}?$$