Beispiel wo Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit nicht parallel sind

In der grundlegenden Diskussion des Drehimpulses dreht sich etwas um eine feste Symmetrieachse

$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

reduziert zu

$\vec{L}=I*\vec{\omega}$

Wie in dieser Animation, in der jeder Vektor entsprechend eingefärbt ist:

Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls können jedoch in zwei Fällen unterschiedliche Richtungen haben: Wenn die Rotationsachse nicht symmetrisch ist oder sich die Rotationsachse bewegt.

Hier ist ein Beispiel:

Sie können sehen, dass$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$ist nicht die gleiche Richtung wie$\vec{\omega}$auch nicht die Vereinfachung$\vec{L}=I*\vec{\omega}$richtig sein.

Der Positionsvektor$\vec{r}$ist der Vektor zwischen dem Referenzpunkt und der Masse (beachten Sie, dass diese Probleme die Masse der Stange ignorieren), nur in einfachen Rotationsfällen wie dem ersten Fall ist er senkrecht zu$\vec{\omega}$. In einem Massensystem können beispielsweise diese Vektoren zu den Massen um einen Bezugspunkt komplex sein. Es ist viel einfacher, den Bezugspunkt als Massenmittelpunkt zu nehmen. In jedem Fall$\vec{r}$ist der Positionsvektor zwischen Ihrem Bezugspunkt und der Masse, und ihre zusammengesetzten Drehimpulse werden sich überlagern (addieren).

Beschränken wir die Diskussion auf starre Objekte, die sich mit einem festen drehen$\vec{\omega}$, dh feste Achse und konstante Winkelgeschwindigkeit. Hier sind ein paar Beobachtungen:

1. $\vec{L}$dreht sich mit dem starren Körper. Wir könnten einen kleinen Pfeil darstellen$\vec{L}$zum Körper, so dass sich der Pfeil dreht$\vec{w}$im gleichen Tempo wie der Körper.

2. Wenn$\vec{L}$ist parallel zu$\vec{w}$, dann bleibt es von der Drehbewegung unbeeinflusst. Ansonsten,$\vec{L}$ändert sich während der Drehbewegung.

3. Wenn$\vec{L}$ändert, bedeutet dies, dass ein externes Drehmoment durch die Achse wirkt.

Angesichts dieser Beobachtungen können wir Folgendes sagen:

$\vec{L}$ist nicht parallel zu$\vec{\omega}$ genau dann, wenn ein Drehmoment benötigt wird, um ein Objekt um eine feste Achse rotieren zu lassen.

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, versuchen Sie, ein sich drehendes Fahrradrad in Ihren Händen zu halten. Wenn das Rad leicht unwuchtig ist, spüren Sie ein oszillierendes Drehmoment von der Achse - dies kommt von den Änderungen in$\vec{L}$wie es sich dreht$\vec{\omega}$. Wenn das Rad perfekt ausbalanciert ist, werden Sie nichts spüren -$\vec{L}$ist parallel zu$\vec{\omega}$und ist während der gesamten Drehung fixiert.

Hier ist ein Diagramm von @ user6972, das genau zeigt, wie$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$kann eine andere Richtung haben$\vec{\omega}$:

Die obige Antwort enthält Beispiele, aber wenn Sie wissen möchten, „WIE“ es passiert, betrachten Sie die folgende Gleichung

Sie können den symmetrischen Trägheitstensor diagonalisieren (indem Sie Ihre Basis drehen. In dieser Basis erhalten Sie

und so sehen Sie das in dieser Basis, wann immer Sie zwei oder mehr Komponenten haben$\omega$ungleich Null entlang Richtungen mit ungleich$\lambda$Sie können den Drehimpuls nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit haben.