Würden Erduhren schneller ticken als die Uhr eines GPS-Satelliten, wenn wir die gravitative Zeitdilatation außer Acht lassen?

Wenn wir die Zeitdilatation ignorieren, die durch einen GPS-Satelliten verursacht wird, der sich in niedrigerer Schwerkraft befindet, würden die Uhren der Erde aus der Perspektive des Satelliten schneller oder langsamer ticken?

Bearbeiten. Von der Erde aus verstehen wir, dass eine Uhr auf einem GPS-Satelliten 38 Mikrosekunden pro Tag schneller ticken würde als unsere Uhren. Ticken unsere Uhren aus der Satellitenperspektive 38 Mikrosekunden pro Tag langsamer oder 52 Mikrosekunden pro Tag langsamer?

Das sind 45 Mikrosekunden pro Tag aufgrund der höheren Gravitationseffizienz der Erde und 7 Mikrosekunden pro Tag aufgrund der relativen Bewegung der Erde.

Die Uhr auf der Erde geht langsamer, weil sie sich in einem höheren Gravitationsfeld befindet. Wenn die Änderung in der Geschwindigkeit des Zeitablaufs aufgrund der Gravitationsdifferenz außer Acht gelassen wird, dann würde es keinen Unterschied in der Geschwindigkeit des Zeitablaufs geben. Aber das ist kein aussagekräftiger Vergleich, da dies den Grund außer Acht lassen soll, warum sie eine unterschiedliche Geschwindigkeit des Zeitablaufs aufzeichnen.
@ThomasLeeAbshierND Ich denke, das OP interessiert sich für Zeitdilatationseffekte aufgrund der Tatsache, dass sich die Erduhr relativ zum Rahmen des GPS-Satelliten bewegt. dh der Versuch, die Auswirkungen von SR und nicht von GR zu betrachten
@AaronStevens, ich denke du hast recht. Ohne diese Einschränkung kann die Frage nicht beantwortet werden. Guter Einblick!
@ThomasLeeAbshierND Ich habe mich mit dem OP unterhalten und verschiedene Aspekte von SR besprochen (obwohl ich wünschte, ich könnte einen hervorragenden Einblick beanspruchen). Ich kann mit ziemlich guter Zuversicht sagen, dass dies das ist, was sie meinen. Aber wir können auf die Klärung warten, wenn Sie möchten.
@AaronStevens, da Sie sich so viel Mühe gegeben haben, gehen Sie weiter und beantworten Sie es.
@ThomasLeeAbshierND Das OP wollte andere Perspektiven, daher glaube ich nicht, dass eine Antwort von mir ausreichen würde. Außerdem bin ich mir nicht 100% sicher, wie ich behandeln soll, was ein Rahmen, der sich mit dem GPS bewegt, beobachten würde, da dieser Referenzrahmen nicht träge ist. Wenn Sie es jedoch als Trägheit behandeln, würde ich sagen, dass wir nur Zeitdilatation haben können.
@ThomasLeeAbshierND: Die Uhr auf der Erde läuft langsamer, weil sie sich in einem höheren Gravitationsfeld befindet. Nein, die Gravitationszeitdilatation bezieht sich auf das Potential, nicht auf das Feld.
@BenCrowell, danke für die Korrektur. Ich denke, Sie haben die Unterscheidung betont, weil GR das Verhältnis von Energie zu Masse im Gravitationspotential (Energie / kg) und nicht im Gravitationsfeld (Kraft / kg) beschreibt. Mit anderen Worten, der Gradient der Gravitationspotentialenergie ist Kraft. Das Gravitationsfeld ist also ein emergenter Effekt, eine fiktive Kraft, während Energie eine konservierte, primär existente Eigenschaft der Masse ist?

Antworten (2)

Würden Erduhren schneller ticken als die Uhr eines GPS-Satelliten, wenn wir die gravitative Zeitdilatation außer Acht lassen?

Ja.

Die fraktionale Differenz der Taktraten ist gegeben durch

1 C 2 ( Δ Φ − v 2 2 ) = 5.2 × 10 − 10 − 0,9 × 10 − 10 ,

Wo Φ ist das Gravitationspotential. Siehe Gl. (53) von Ashby, „Relativity in the Global Positioning System“, Living Reviews in Relativity (frei zugänglich). Der Gravitationsterm ist größer als der kinematische Term, und sie haben entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn der Gravitationsterm fehlt, würde der kinematische Term dazu führen, dass der Gesamteffekt das entgegengesetzte Vorzeichen hat.

Können Sie erklären, woher der Begriff Kinematik kommt? Ist SR hier aufgrund eines sich beschleunigenden Referenzrahmens auch nicht anwendbar?
@AaronStevens: Können Sie erklären, woher der kinematische Begriff kommt? Der kinematische Term ist der führende Term der Taylor-Reihe für γ = ( 1 − v 2 / C 2 ) − 1 / 2 . Ist SR hier aufgrund eines sich beschleunigenden Referenzrahmens auch nicht anwendbar? Dies ist das Ergebnis führender Ordnung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, kein SR-Ergebnis. (Es stimmt auch nicht, dass SR keine beschleunigten Frames verarbeiten kann – das kann es.) Für eine detaillierte Herleitung siehe N. Ashby, „Relativity in the Global Positioning System“, Living Reviews in Relativity (frei zugänglich).
Ich weiß, dass SR mit beschleunigenden Frames umgehen kann. Ich wusste nur nicht, ob Sie SR innerhalb eines beschleunigten Rahmens anwenden können. Außerdem ist Ihre Schlussfolgerung das Gegenteil von dem, was die andere Antwort hier sagt.
@AaronStevens: Außerdem ist Ihre Schlussfolgerung das Gegenteil von dem, was die andere Antwort hier sagt. Nein, meine Antwort und die von WillO stimmen über die Wirkungsrichtung überein. Ich weiß, dass SR mit beschleunigenden Frames umgehen kann. Ich wusste nur nicht, ob Sie SR innerhalb eines beschleunigten Rahmens anwenden können. Mir ist nicht klar, welche Unterscheidung Sie hier treffen wollen. Jedenfalls wird in meiner Antwort kein Bezugsrahmen diskutiert. Dies ist einfach eine Annäherung in führender Ordnung an das Integral des Linienelements, ∫ D S .
Sie sagen, dass laut GPS die Uhr der Erde schneller tickt. WillO sagt, es wird langsamer ticken. Und die Frames, über die ich spreche, sind der Referenzrahmen, in dem wir arbeiten. Siehe meinen Kommentar zu WillOs Antwort.
Sie sagen, dass laut GPS die Uhr der Erde schneller tickt. Hier ist kein „laut“ im Spiel. Es gibt einen Unterschied im langfristigen Trend der beiden Taktraten. In Wirklichkeit tickt die Erduhr langsamer. Wenn Sie den Satelliten an einem Fallschirm herunterbringen und ihn wieder mit der Erduhr vereinen, zeigt die Uhr des Satelliten mehr Zeit an, die vergangen ist. (Wenn wir den Gravitationsterm loswerden, wird der Effekt im Vorzeichen umgekehrt.) Es sind keine Bezugsrahmen beteiligt. GR hat keine (globalen) Referenzrahmen. Das gesamte Konzept fehlt in den Grundlagen von GR.

Wenn Sie die Auswirkungen der Schwerkraft ignorieren, dann, wenn sich der Satellit mit hoher Geschwindigkeit bewegt v , wird ein erdgebundener Beobachter sagen, dass seine Uhren um einen Faktor langsamer laufen 1 − v 2 .

Natürlich wird ein Beobachter auf dem Satelliten sagen, dass die Erduhren um denselben Faktor langsam laufen, aber der Beobachter auf dem Satelliten bewegt sich ständig von einem (Momentan-)Frame zum anderen und revidiert daher ständig seine Meinung darüber, wann die Erduhr war auf Mittag stellen.

ist SR im Beschleunigungsrahmen des Satelliten noch anwendbar? Ich verstehe, dass wir für einen Beobachter auf der Erde (vorausgesetzt, der Erdbeobachter ist träge. Wenn nicht, ersetzen Sie einfach den Erdbeobachter durch einen, der sich im Mittelpunkt der Erde befindet) wir augenblickliche Trägheitsrahmen von Referenzrahmen des Satelliten betrachten können. Dies liegt jedoch daran, dass sie sich laut Erdbeobachter in einem Trägheitsreferenzrahmen befinden, sodass SR zwischen ihnen und einem augenblicklichen Satellitenrahmen gilt. Aber der Rahmen des Satelliten ist zunächst nicht inertial, gilt also SR in diesem Rahmen?
Der erste Absatz macht eine korrekte Vorhersage der Richtung des Effekts, wenn die Gravitationszeitdilatation weggelassen wird (dh das Vorzeichen ist das Gegenteil von dem, was tatsächlich beobachtet wird, wenn Gravitationszeitdilatation vorhanden ist). Die Diskussion von Rahmen und Beobachtern ist jedoch unnötig und konzeptionell etwas irreführend. Das ist wie das Zwillingsparadoxon – wenn die Zwillinge wieder vereint sind, gibt es keine Meinungsverschiedenheiten darüber, welcher Zwilling älter ist. Um dies zu erklären, sind keine Bezugsrahmen erforderlich, und GR hat eigentlich keine globalen Bezugsrahmen. Die richtige Zeit auf jeder Uhr ist [...]
[...] einfach ∫ D S , und das ist eine mathematische Tatsache, die nichts mit Beobachtern oder Bezugsrahmen zu tun hat.
@BenCrowell: Natürlich stimme ich Ihnen vollkommen zu, dass die Zeit, die auf der Uhr des Satelliten zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie des Satelliten vergeht, durch das Linienintegral von gegeben ist D S , und dass, wenn man das so sagt, Bezugsrahmen überflüssig sind. Aber es ist auch wahr, dass wir SR machen, weil wir die Schwerkraft ignorieren, was bedeutet, dass wir globale Bezugsrahmen haben, und es ist nicht irreführend, Dinge stattdessen in diesen Begriffen auszudrücken. (CTD).
(CTD) Mit anderen Worten, Sie haben Recht, dass die Bezugsrahmen nicht erwähnt werden müssen, wenn Sie das Linienintegral aufschreiben, aber es ist ebenso richtig, dass die Linienintegrale nicht erwähnt werden müssen, wenn Sie es aufschreiben die Lorentz-Transformationen zwischen den Bezugsrahmen.
SR geht nicht von globalen Bezugsrahmen aus, oder?
@AaronStevens: Ob die Existenz eines globalen Referenzrahmens eine Annahme oder eine Schlussfolgerung ist, hängt davon ab, was Sie als Definition verwenden, aber offensichtlich gibt es in SR globale Rahmen. (Genauer gesagt ist der parallele Transport eindeutig definiert, sodass wir jeden Rahmen von jedem Ereignis zu jedem anderen Ereignis eindeutig transportieren können. Die resultierende Sammlung von Rahmen ist das, was man normalerweise unter einem "globalen Rahmen" versteht.)
Ah okay. Ich dachte eher an einen absoluten Bezugsrahmen mit absolutem Raum/Zeit.
Sie sagen also im Grunde, dass ein Astronaut auf einem GPS-Satelliten sehen würde, wie eine Erduhr langsam läuft, sich aber schneller bewegt?
@zanescheepers: Ich weiß nicht, was "langsam laufen, aber sich schneller bewegen" bedeutet. Im momentanen Koordinatensystem des Satelliten läuft die Erduhr immer langsam.
@WillO ja, aber wie viel langsamer? 37 Mikrosekunden pro Tag langsamer oder 52 Mikrosekunden pro Tag langsamer?
@zanescheepers: Ich dachte, wir würden die Auswirkungen der Schwerkraft ignorieren. in diesem Fall geht die Erduhr im (Momentan-)Koordinatensystem des Satelliten um genau den gleichen Faktor nach wie die Satellitenuhr im Erdsystem.
@WillO Anscheinend fällt es einigen Leuten schwer, die Zeitdilatation aufgrund unterschiedlicher Gravitationseffizienz zu ignorieren.
Aber sicher, wenn unsere Uhren aus der Satellitenperspektive 45 Mikrosekunden pro Tag langsamer laufen, aufgrund der höheren Gravitationseffizienz, und dann 7 Mikrosekunden pro Tag langsamer, aufgrund der Geschwindigkeits-Zeit-Dilatation, dann sind das 52 Mikrosekunden pro Tag.
Würden Erduhren schneller ticken als die Uhr eines GPS-Satelliten, wenn wir die gravitative Zeitdilatation außer Acht lassen?
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