Zusammenhang zwischen Filterordnung und Impulsantwort?

Die Abklinggeschwindigkeit der Impulsantwort hängt nur vom Abstand der Pole der Übertragungsfunktion zur imaginären Achse ab$s$-Ebene, dh auf dem Realteil der (in der Regel komplexen) Pole. Denken Sie daran, dass für ein kausales und stabiles System alle Pole der Übertragungsfunktion in der linken Halbebene liegen müssen (dh die Realteile der Pole müssen negativ sein), damit die Impulsantwort abklingt. Je näher jedoch ein Pol an der imaginären Achse liegt, desto langsamer trägt er zum Abfall der gesamten Impulsantwort bei. Der Beitrag eines komplexen Pols$s_{\infty}=\sigma+j\omega$auf die Impulsantwort hat die Form

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma t}e^{j\omega t}$$

was zeigt, dass der Zerfall davon abhängt$\sigma$, der wahre Teil von$s_{\infty}$.

Das bedeutet, dass prinzipiell auch ein System erster Ordnung einen beliebig langsamen Abfall seiner Impulsantwort haben kann. Für optimale frequenzselektive Filter (elliptisch, Butterworth usw.) ist es jedoch der Fall, dass Filter höherer Ordnung Pole haben, die näher an der imaginären Achse des Komplexes liegen$s$-Ebene als Filter niedriger Ordnung. Das langsame Abklingen, das Sie bei Filtern höherer Ordnung beobachtet haben, hängt also nur indirekt mit der Filterordnung zusammen. Der wahre Grund ist die Position der Pole in der Nähe der$j\omega$-Achse. Diese Pole führen zu steileren Frequenzgängen, und scharfe Übergänge im Frequenzbereich entsprechen langen (dh langsam abklingenden) Impulsantworten.

(+1) für eine nette Frage. Es ist im Grunde eine mathematische Tatsache, dass scharfe Kanten im Frequenz- (oder Zeit-) Bereich zu Überschwingern (/Harmonische) im Zeit- (/Frequenz-) Bereich führen.
Höhere Ordnungen scheinen auch eine längere Zeitverzögerung zu haben.
Bessel-Filter haben eine schöne Sprungantwort* im Zeitbereich.

*In der Praxis ist es einfach, die Sprungantwort auf Ihrem Oszilloskop zu sehen.
Ich benutze die Impulsantwort nicht viel.