Etwas aus der Ferne in ein schwarzes Loch fallen sehen

In der Newtonschen Mechanik ist die Gleichung, die Sie verwenden, um die Flugbahn des fallenden Teilchens zu beschreiben, die übliche$F = ma$. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sollten Sie nicht überrascht sein, dass Sie eine kompliziertere Gleichung verwenden, die die Newtonsche Gleichung als untere Krümmungsgrenze angibt. Diese Gleichung wird als geodätische Gleichung bezeichnet :

$$\frac{d^2x^\gamma}{dq^2} + \Gamma^\gamma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dq} \frac{dx^\nu}{dq} = 0$$

Die Variable$q$parametrisiert die Flugbahn - sie ist proportional zur Eigenzeit, dh der vom fallenden Teilchen gemessenen Zeit. Die Gleichung gibt Ihnen$t(q)$,$r(q)$,$\theta(q)$Und$\phi(q)$in welchem ​​Koordinatensystem Sie auch arbeiten möchten.

Sie können das EOM des fallenden Teilchens berechnen und dann eine fiktive Kraft erfinden, die eine Funktion der Entfernung ist, damit Newtons Gleichung funktioniert, aber dies wäre nur eine intellektuelle Übung und hätte keine physikalische Bedeutung.

Wenn Sie interessiert sind, Phils Antwort auf Was ist die Gewichtsgleichung durch die allgemeine Relativitätstheorie? analysiert ein ähnliches Problem.

Später:

Bezüglich Ihres Kommentars zu Stans Antwort gibt es nichts, was der Bewegung des fallenden Körpers physikalisch entgegensteht. Was Sie sehen, ist analog zur Längenkontraktion und Zeitdilatation, die Sie in der speziellen Relativitätstheorie erhalten. Die Radialkoordinate$r$ist definiert als der Umfang eines Kreises, der um das Schwarze Loch gezogen wird, geteilt durch$2\pi$. Es ist nicht dasselbe wie die Länge, die Sie messen würden, wenn Sie ein Maßband in Richtung des Ereignishorizonts herunterlassen. Sie sollten also nicht überrascht sein, dass die Geschwindigkeit, die Sie durch das Teilen erhalten$dr$von$dt$fällt etwas seltsam aus.

Um dies zu sehen, schauen Sie sich dieses Diagramm an:

Der$dr$Sie verwenden, um die Geschwindigkeit zu berechnen, ist die Entfernung in der flachen Ebene, und es ist sofort offensichtlich, dass dies nicht mit der richtigen Entfernung identisch ist .$ds$, erhalten Sie durch Integration$dr$entlang der Flugbahn. Sie können die richtige Entfernung einfach berechnen, indem Sie die anderen Parameter konstant halten und die Metrik integrieren:

$$\int ds = \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1 - r_s/r}}$$

Als$r_2 \rightarrow r_s$Dieses Integral geht gegen unendlich. Ihr Ergebnis ist also, dass der fallende Körper eine unendliche Zeit braucht, um sich unendlich weit zu bewegen.

Aber das bedeutet nicht, dass die Entfernung zum Ereignishorizont unendlich ist, genauso wenig wie es bedeutet, dass die Zeit dort stehen bleibt. Alles, was es bedeutet, ist das$r$Und$t$sind nicht die einfachen Größen, für die wir Bewohner einer Raumzeit mit geringer Krümmung sie halten.

Ich gehe von einem Schwarzschild-Schwarzen Loch mit Masse aus$M$und Schwarzschild-Koordinaten,$-+++$Vorzeichenkonvention und Einheiten von$G = c = 1$.

Denn die Metrik ist unabhängig von$t$,$\partial_t$ist ein Killing-Vektorfeld und daher für jede Geodäte mit Tangentenvektor$u$, gibt es eine Konstante der Bewegung

$$\epsilon = -\partial_t\cdot u = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}\text{.}$$ Ähnlich, $\partial_\phi$ist ein weiterer Killing-Vektor, der der Drehimpulserhaltung entspricht, aber für den radialen freien Fall ist uns das egal. Außerdem habe ich angenommen, dass die Geodäte zeitähnlich ist, und daher kann der affine Parameter als die richtige Zeit angesehen werden $\tau$daran entlang.

Zusammen mit dem zeitgemäßen Zustand$u\cdot u = -1$, die obige Bewegungskonstante impliziert dies

$$\frac{1}{2}\dot{r}^2 - \frac{M}{r} = \frac{\epsilon^2-1}{2} = e$$ ist konstant, wo $e$ist das relativistische Analogon der spezifischen mechanischen Energie der Umlaufbahn, und der Überpunkt steht für die Differenzierung in Bezug auf $\tau$. Wenn wir dies differenzieren, erhalten wir: $$\ddot{r} = -\frac{M}{r^2}\text{.}$$ Da wir eigentlich die Bewegungsgleichung in Bezug auf die Schwarzschild-Koordinatenzeit erhalten wollen, $$\frac{dr}{dt} = \dot{r}\frac{d\tau}{dt}\text{,}$$ $$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d\tau}\left[\dot{r}\frac{d\tau}{dt}\right]\text{,}$$ und alles, was bleibt, ist einstecken und tuckern.

Aber es ist offensichtlich, dass diese Mengen gehen$0$als$r\to 2M$:$\epsilon>0$ob das Teilchen irgendwo außerhalb des Horizonts beginnt und seitdem$\dot{r}$Endlich ist brav da solange$\frac{d\tau}{dt} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\epsilon^{-1}\to 0$, folgt die Behauptung.

Wie bereits in anderen Antworten erwähnt, können Sie dies je nach verwendetem Koordinatensystem und verwendeter Terminologie entweder als Zeitdilatation, Entfernungszunahme oder Trägheitsmasse interpretieren.

Ich kann auch darauf hinweisen, dass Sie es als Frame-Draging interpretieren können, eine Gravitationskraft zweiter Ordnung.