Wurmloch bauen

Es ist ein bisschen schwierig, einen Stress-Energie-Tensor ähnlich einem Wurmloch im normalen Raum genau zu konstruieren, da ein Teil der Annahme darin besteht, dass die Topologie nicht einfach verbunden ist, aber betrachten Sie das folgende Szenario:

Nehmen Sie einen dünnschaligen Spannungs-Energie-Tensor wie diesen

$$T_{\mu\nu} = \delta(r - a) S_{\mu\nu}$$

mit$S_{\mu\nu}$der Lanczos-Oberflächenenergietensor, wobei der Lanczos-Tensor einem dünnschaligen Wurmloch ähnelt. Für ein statisches kugelförmiges Wurmloch wäre das

$$\begin{eqnarray} S_{tt} &=& 0\\ S_{rr} &=& - \frac{2}{a}\\ S_{\theta\theta} = S_{\varphi\varphi} &=& - \frac{1}{a}\\ \end{eqnarray}$$

Wenn wir dies mit der üblichen Ausschneide- und Einfügemethode tun würden (einen Ball aus der Raumzeit herausschneiden, bevor er wieder eingefügt wird, ohne den Raum zu ändern), wäre der Lanczos-Tensor Null, da die Normalenvektoren gleich sind (es gibt keine Diskontinuität). in den Derivaten). Aber wir legen den Stress-Energie-Tensor hier von Hand auf. Dies ist eine statische kugelsymmetrische Raumzeit, für die wir die übliche Metrik verwenden können

$$ds^2 = -f(r) dt^2 + h(r) dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

mit den üblichen Ricci-Tensorergebnissen:

$$\begin{eqnarray} R_{tt} &=& \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{f'}{rhf}\\ R_{rr} &=& - \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{h'}{rh^2}\\ R_{\theta\theta} = R_{\varphi\varphi} &=& -\frac{f'}{2rhf} + \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) \end{eqnarray}$$

Verwenden$R_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} - \frac 12 T$(dies wird weniger ausführlich sein), wir verstehen das$T = -\delta(r - a) [2(ah)^{-1} + 2 (ar^2)^{-1}]$, und dann

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{f'}{rhf} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a} (\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2}) \\ - \frac{1}{2 \sqrt{hf}} \frac{d}{dr} \frac{f'}{\sqrt{hf}} + \frac{h'}{rh^2} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1]\\ -\frac{f'}{2rhf} + \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1] \end{eqnarray}$$

Das ist ziemlich kompliziert und ich werde ein solches System nicht lösen, also machen wir eine vereinfachende Annahme: Genau wie für das Ellis-Wurmloch, nehmen wir an$f = 1$, was die Sache vereinfacht

$$\begin{eqnarray} 0 &=& \delta(r - a) \frac{1}{a} (\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2}) \\ \frac{h'}{rh^2} &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1]\\ \frac{h'}{2rh^2} + \frac{1}{r^2} (1 - \frac{1}{h}) &=& \delta(r - a) \frac{1}{a}[\frac{1}{h} + \frac{1}{r^2} - 1] \end{eqnarray}$$

Die einzige Lösung für die erste Zeile wäre$h = - r^2$, aber dann wäre dies keine Metrik der richtigen Signatur. Ich glaube nicht, dass es hier eine Lösung gibt (oder wenn es eine gibt, muss es eine gute Wahl der Rotverschiebungsfunktion geben), die meiner Meinung nach auf das folgende Problem zurückzuführen ist:

Aus der Raychaudhuri-Gleichung wissen wir, dass es in einer Raumzeit, in der die Nullenergiebedingung verletzt wird, eine Divergenz geodätischer Kongruenzen gibt. Dies ist eine wichtige Eigenschaft von Wurmlöchern: In der optischen Annäherung ist ein Wurmloch nur eine divergente Linse, die konvergente geodätische Kongruenz nimmt und sie in divergente verwandelt. Dies ist in Ordnung, wenn die andere Seite des Wurmlochs tatsächlich eine andere Kopie der Raumzeit ist, aber wenn dies in den flachen Raum führt, könnte dies ein Problem sein (sobald die Wurmlochmündung überquert wurde, sollte der Bereich "wachsen" und nicht schrumpfen wie hier würde es reichen).

Ein besseres Beispiel, das mit der Tasche der goldenen Raumzeit übereinstimmt, ist die Betrachtung eines dünnwandigen Wurmlochs, das immer noch eine triviale Topologie hat. Nimm die beiden Krümmer$\mathbb R^3$und$\mathbb S^3$. Nach dem Gauß-Bonnet-Theorem muss eine Kugel einen Teil haben, in dem sie eine positive Krümmung hat (daher die Fokussierung der Geodäten). Führen Sie dann den Ausschneide- und Einfügevorgang durch, damit wir die Raumzeit haben

$$\mathcal M = \mathbb R \times (\mathbb R^3 \# S^3)$$

Durch etwas topologische Magie ist dies eigentlich gerecht$\mathbb R^4$. Die Dünnschalen-Näherung ist hier leicht durchzuführen und gibt Ihnen das richtige Verhalten: Geodäten konvergieren auf den Mund, divergieren beim Überqueren des Mundes und gehen dann ein wenig um das Innere der Kugel herum, bevor sie möglicherweise herauskommen.

Von dort aus ist es möglich, verschiedene andere Varianten zu nehmen, z. B. das Glätten des Mundes, um ihn realistischer zu machen (was Ihnen tatsächlich eine Tüte goldener Raumzeit gibt), sowie eine Zeitabhängigkeit, um diese Raumzeit aus dem flachen Minkowski-Raum zu erhalten.

Dieser Artikel befasst sich mit passierbaren Wurmlöchern

http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/56/5/10.1119/1.15620

Befahrbare Eigenschaften von Wurmlöchern Wie wir gesehen haben, gibt es mehrere Einwände gegen die Möglichkeit wahr werdender interstellarer Reisen durch schwarze Löcher oder Wurmlöcher von Schwarzschild. Um ein Wurmloch passierbar zu machen, sollte es folgende Eigenschaften haben:

1. sphärisch symmetrische und statische Geometrie. Es ist eine Bedingung, die auferlegt wird, um die Berechnungen zu vereinfachen.
2. Als Lösung von Einsteins Gleichungen.
3. enthalten einen Hals (ein schmales Fragment der Raumzeit, stark gekrümmt), der zwei asymptotisch flache Regionen der Raumzeit verbindet.
4. Abwesenheit von Horizonten, um die Reise in zwei Richtungen zu ermöglichen.
5. kleine Gezeitenkräfte, um mögliche Reisende nicht zu zerstören.
6. Damit ein Reisender das Wurmloch zu einem geeigneten Zeitpunkt und zu einem vernünftig koordinierten Zeitpunkt durchqueren kann. Letztere wird von einem Beobachter weit entfernt von den Quellen des Gravitationsfeldes gemessen.
7. Materie und Felder, die die Krümmung der Raumzeit erzeugen, werden durch einen Energietensor beschrieben – Momento mit physikalischer Bedeutung.
8. Die Lösung muss für kleine Störungen während des Durchgangs des Läufers stabil sein.
9. Schließlich muss das Wurmloch mit einer endlichen Menge an Material gebaut werden, sicherlich weniger als der materielle Inhalt des Universums, und ein Intervall von endlicher Zeit, deutlich weniger als das Alter des Universums.