Über Massendefekt

Es ist nicht möglich, potentielle Energie zu messen, da sie eine (globale) Eichsymmetrie hat. Es ist, als würde man versuchen, die Höhe eines Berges zu messen – dies könnte die Höhe über dem Meeresspiegel sein, die Höhe relativ zum tiefsten Meeresgraben, die Höhe relativ zum Erdmittelpunkt und so weiter. Jede Messung kann nur die Änderung der potentiellen Energie messen, und natürlich kann eine Änderung positiv oder negativ sein, dh die potentielle Energie kann zunehmen oder abnehmen.

Dies ist meine bevorzugte Art, den Massendefekt zu verstehen: Beginnen Sie mit den einzelnen Teilchen kombinierter Masse$M$in großer Entfernung. Wenn die Teilchen zusammenkommen, beschleunigen sie aufgrund der Anziehungskraft zwischen ihnen, sodass sie in dem Moment, in dem sich alle Teilchen treffen, eine hohe kinetische Energie haben,$T$. Um die Teilchen dazu zu bringen, einen gebundenen Zustand einzunehmen, müssen wir diese kinetische Energie entfernen$T$, und das bedeutet, eine Masse von herauszunehmen$m = T/c^2$- daher der Massendefekt.

Die gesamte kinetische Energie$T$ist nur das Negative der potentiellen Energieänderung$\Delta U$wie die Teilchen aus dem Unendlichen in den gebundenen Zustand gebracht werden. Es spielt keine Rolle, welchen Wert Sie zuweisen$U(\infty)$denn nur die Veränderung zählt$\Delta U$.

Antwort auf den Kommentar von user52153:

Angenommen, wir beginnen mit zwei Teilchen, die sich anziehen. Dies könnten ein Elektron und ein Proton oder zwei Nukleonen sein, obwohl ich der Einfachheit halber davon ausgehen werde, dass sie dieselbe Masse haben$m_0$. Beginnen Sie mit stationären Partikeln und weit genug voneinander entfernt, dass jede Wechselwirkung vernachlässigbar ist. Dann ist die Gesamtenergie nur:

$$E_0 = 2m_0c^2$$

Lassen Sie nun die Teilchen sich unter ihrer gegenseitigen Anziehungskraft zusammenbewegen. Die Anziehungskraft wird sie beschleunigen, sodass sie einige Zeit später eine kinetische Energie haben$T$. Da wir keine Energie zugeführt oder entnommen haben, muss die Gesamtenergie unverändert bleiben, also muss es eine (negative) potentielle Energie geben$U$so dass:

$$2m_0c^2 + T + U = 2m_0c^2 = E_0$$

Mit anderen Worten$T + U = 0$oder$T = -U$, und erinnere dich daran$U$ist eine negative Zahl.

An diesem Punkt gibt es kein Massendefizit, weil die Gesamtenergie unverändert ist. Jetzt schlägt Benutzer52153 vor, dass wir einen Mechanismus verwenden, um die kinetische Energie aus dem System zu nehmen. Dabei spielt es keine Rolle, wie wir das genau machen – wir nutzen die Bewegungsenergie, um Arbeit zu verrichten$W$außerhalb unseres Systems aus zwei Teilchen, und wir fahren mit dieser Arbeit fort, bis$W = T$an diesem Punkt sind die Teilchen also zur Ruhe gebracht worden. Weil wir Arbeit genommen haben$W = T$aus dem System ist die Gesamtenergie nun:

$$E_1 = 2m_0c^2 + U$$

Das Massendefizit$\Delta m = (E_0 - E_1)/c^2$So:

$$\Delta_m = \frac{E_0 - E_1}{c^2} = \frac{(2m_0c^2) - (2m_0c^2 + U)}{c^2} = -\frac{U}{c^2}$$

und weil$U$ist eine negative Zahl, die bedeutet$\Delta m$ist eine positive Zahl, dh die Gesamtmasse des Systems hat abgenommen.

Tabellierte Werte von Kernmassendefekten enthalten tatsächlich einen willkürlichen Versatz. Normalerweise ist der Standard, dass ein Mol Kohlenstoff-12 genau zwölf Gramm wiegt, sodass ein nacktes Proton oder Neutron einen positiven Massendefekt hat, während ein fest gebundener Kern wie Eisen oder Nickel einen negativen Massendefekt hat. Bei der Berechnung der$Q$-Werte von Zerfällen kommt es nur auf die Differenz im Massendefekt an.

Seien Sie gewarnt, dass es in Kernen einen feinen Unterschied zwischen dem Massendefekt und der Bindungsenergie gibt . Die Ruhemasse eines (einfachen oder zusammengesetzten) Teilchens ist immer wohldefiniert. Wenn Sie die Massen eines zusammengesetzten Systems und seiner einfachen Bestandteile vergleichen, stellen Sie fest, dass das gebundene zusammengesetzte System weniger massiv ist als die einzelnen Bestandteile: Zum Beispiel ist ein Kohlenstoff-12-Atom in seinem Grundzustand weniger massiv als sechs Protonen, sechs Neutronen und sechs Elektronen. Dieser Massenunterschied ist die Bindungsenergie, Ihre$U$, und es leidet nicht unter dem Problem der willkürlichen Null potentieller Energien, weil es bereits eine Differenz zwischen zwei Energien ist.

In Tabellen von Massendefekten, wie der, die ich oben verlinkt habe, ist der "Defekt" die Differenz zwischen der gemessenen Masse eines neutralen Atoms mit$Z+N=A$Nukleonen und die naive Masse von$A$atomare Masseneinheiten. Der Massendefekt wäre gleich der Bindungsenergie, wenn das Neutron und das Proton + Elektron beide eine Ruhemasse von einem Amu hätten, aber das haben sie nicht: Proton + Elektron sind zusammen etwa 7 MeV schwerer als 1 Amu, und die Neutron ist etwa 8 MeV schwerer als 1 amu. Da Kernreaktionen jedoch die Baryonenzahl erhalten$A$und elektrischer Ladung kann man die bei einer Reaktion verfügbare Energie immer berechnen, indem man die Massendefekte von Anfangs- und Endzustand vergleicht. Dies ist tatsächlich robuster als der Vergleich von Bindungsenergien , da es automatisch den Unterschied in den Ruhemassen von Neutron und Proton berücksichtigt.

Wenn Sie die Relativitätstheorie verwenden (die die Verwendung von$E = mc^2$impliziert), können wir das Potential nicht beliebig wählen, weil die Beziehung zwischen Energie und Masse absolute Werte der Energie durch die von gespeicherter Energie ausgeübten Gravitationskräfte messbar macht.

BEARBEITEN :

Da du gefragt hast, erkläre ich es etwas ausführlicher:

Lassen$V : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$ein Potential sein, das im räumlichen Unendlichen Null ist, dh$\lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V(x) = 0$. Dann ist die Klasse der Potentiale äquivalent (was bedeutet, dass sie die gleiche Physik erzeugen) zu dieser ohne Schwerkraft$\{V_k(x) | V_k(x) = V(x) + k, c\in \mathbb{R}\}$. Mit der Schwerkraft das Energie-Masse-Verhältnis$E = mc^2$sagt uns, dass nur eines dieser Potenziale realisiert wird, da Masse eine messbare Größe ist. Wie können wir sagen, welche? Es ist einfach:

Lassen$V_k$sei die in der Natur verwirklichte potentielle Energie. Die Energie eines Teilchens im räumlichen Unendlichen in Ruhe muss sein$E_0 = m_0c^2$, Wo$m_0$ist die Ruhemasse. Seine Energie ist auch$lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V_k(x) + m_0c^2 = k + m_0c^2$. Daher,$k = 0$. Wenn ich nicht irgendwo einen eklatanten Fehler gemacht habe, zeigt dies, dass die potentielle Energie eines Teilchens in Gravitationstheorien im räumlichen Unendlichen verschwinden muss.

Wenn Sie sich fragen, warum Teilchen im räumlichen Unendlichen ruhen müssen$E_0$als Energie, weil sie von freien Teilchen nicht zu unterscheiden sind und diese aus einer Theorie stammen, in der es überhaupt kein Potential gibt.

Nehmen wir das Newtonsche Gesetz für ein Teilchen in der speziellen Relativitätstheorie

$$F^\mu = \frac{d p^\mu}{d \tau} = \frac{d m_0}{d\tau} u^\mu + m_0\frac{du^\mu}{d\tau}$$ Wo $F^\mu = - \partial^\mu V$, $p^\mu = m_0 u^\mu = m_0 \gamma (c,\vec{v})$und in unserem Laborrahmen $V(x,t) = V(x)$. Nehmen $m=m_0 \gamma$und eine Transformation von der Eigenzeit des Teilchens zu unserer Laborzeit $t$( $\frac{d}{d\tau} = \gamma \frac{d}{dt}$) erhalten wir somit eine Aussage über die Erhaltung der Masse (Energie). $$F^0 =0 = c \gamma \frac{d m}{dt}$$

Nun projizieren wir das gesamte Newtonsche Gesetz in Richtung der Vierergeschwindigkeit$u^\nu$(Summe mit$u_\mu$). Das nutzen wir$u^\mu u_\mu =-c^2 \,$($-+++$Signatur der Metrik),$u^\mu a_\mu = 0$, in Laborrahmenzeit umwandeln und erhalten

$$- \gamma \vec{v} \cdot \nabla V = -c^2 \gamma \frac{dm_0}{d t}$$ Dies kann vereinfacht und umgeschrieben werden als $$\frac{d V(x(t))}{dt} = \frac{d (m_0 c^2)}{dt}$$ Oder $$\Delta V = \Delta m_0 c^2$$ Beachten Sie jedoch, dass wir in diesem Prozess immer haben $\Delta m = 0$wegen $F^0 = 0$. Es muss also ein Teilchen (z. B. ein Photon) in einem separaten Prozess emittiert werden, um den gesamten Impuls wegzutragen und $T = mc^2 - m_0 c^2$.

Betrachten wir ein Teilchen, das im Unendlichen ruht, können wir für seine Masse schreiben, nachdem es gebunden wurde

$$m^{bound}c^2 = m_0^{bound}c^2 + (m_0^{bound} - m^{bound})c^2 = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + \Delta T \; \; \; (*)$$ wo wir kinetische Energie identifizieren $\Delta T=(m_0^{bound} - m^{bound})c^2$weil es der einzige Term ist, der von der Geschwindigkeit abhängt, und die $\Delta$steht für die Tatsache, dass derselbe Term Null war, bevor er gebunden wurde. Bevor wir ein Photon emittieren, haben wir $\Delta T = -\Delta V$so dass $\Delta m=0$gilt.

Natürlich rufen wir an$\Delta E \equiv \Delta T + \Delta V$. Das lässt sich leicht verallgemeinern

$$(mc^2)^{after} = (mc^2)^{before} + \Delta E,\, \to \Delta E = \Delta mc^2$$ Es besteht also keine Notwendigkeit, einen absoluten Wert von aufzurufen $E$oder $V$überhaupt, was bedeutet, dass sie durchaus bis auf beliebige Konstanten definiert werden können. Daher ist es eine genauere Aussage, dies zu sagen $$E = mc^2 + C$$ Und es gibt keine $V$! Woher? In Ihrem Lehrbuch, von $E_{rest}$sie bedeuten eigentlich Ruheenergie des Teilchens, die vom Potential ins Unendliche transportiert wird , dh $m_0^{\infty}c^2$. Also mit Gleichung $(*)$und kinetische Energie loszuwerden $\Delta T = 0$, wir bekommen $$E = mc^2 + C = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + C$$

Also in deinem Lehrbuch$U(\infty)=C$, und die einzige Rechtfertigung, ihn auf Null zu setzen, besteht darin , die Beziehung zu erzwingen$E=mc^2$bewerben. Andererseits hat die Masse diese Art von Freiheit nicht, da ihr absoluter Wert die lokale dynamische Antwort des Teilchens definiert. Sie können also die gesamte Argumentation des Lehrbuchs wiederholen, indem Sie einfach ersetzen$E\to mc^2$und dein Problem ist gelöst.

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EDIT: Dieser Beitrag wurde seit der Erstellung zweimal komplett überarbeitet. Erstens wurde ein fehlerhaftes Argument entfernt und zweitens eine mathematische Herleitung des festgestellten Sachverhalts hinzugefügt. (Beachten Sie, dass ich in der vorherigen Version des Beitrags schlampig verwendet habe$m_0$als$m_0^{\infty}$.)