Existenz monochromatischer Pulse?

Der grundlegende Grund dafür ist eine wirklich monochromatische Wellenform

$$f(t) = f_0e^{-i\omega t}$$ ist für alle Echtzeiten aktiv $t$─ es startet nicht und es hört nicht auf ─ und das bedeutet, dass Sie eine unendliche Zeit brauchen, um eines zu produzieren, und Sie brauchen eine unendliche Zeit, um es zu entdecken. Da die Energiedichte der Welle konstant ist, bedeutet die unendliche Dauer auch, dass Sie unendlich viel Energie benötigen, um diese aufzubauen.

Nun, warum sagen wir, dass Sie unendlich viel Zeit brauchen, um eine wirklich monochromatische Situation zu haben? Konzentrieren wir uns zunächst auf die Erkennungsseite und nehmen wir an, Sie haben nur eine endliche Zeit$T$um die Wellenform zu messen, die bei einer Frequenz zentriert ist$\omega_0$so dass$\omega_0 T\gg1$, dh$T$passt viele Zyklen der Mittenfrequenz. Jetzt ist die eigentliche Frage: Können Sie zwischen der Frequenz unterscheiden?$\omega=\omega_0$und eine andere Frequenz$\omega=\omega_0+\delta\omega$was nahe an der Mittenfrequenz liegt, aber nicht ganz$\omega_0$was glaubst du zu haben?

Wenn Sie die Füße auf den Boden stellen und annehmen, dass die Signale synchron beginnen, stellt sich letztendlich die Frage, wie gut Sie zwischen ihnen unterscheiden können$e^{i\omega_0T}$Und

$$e^{i\omega T} = e^{i\omega_0T} e^{i\delta\omega \,T},$$ wo die Welle um eine Phase fortgeschritten ist $\delta\omega\,T$über dem Beobachtungsfenster. Nun, hier ist das Problem: Was passiert, wenn $\delta\omega$ist viel kleiner als $2\pi/T$? In diesem Fall liegen die beiden Wellen an $\omega=\omega_0$Und $\omega=\omega_0+\delta\omega$Sie werden selbst über Ihr langes Beobachtungsfenster kaum aus dem Takt geraten sein, und es wird Ihnen schwer fallen, zwischen den beiden zu unterscheiden.

Beachten Sie außerdem, dass Sie Ihr Beobachtungsfenster auf eine längere Zeit erweitern könnten$T_\mathrm{longer} = 2\pi/\delta\omega\gg T$, dann würde Ihr Beobachtungsfenster Zeiten beinhalten, in denen Wellen ankommen$\omega=\omega_0$Und$\omega=\omega_0+\delta\omega$wäre$\pi$außer Tritt, und Sie könnten sie unterscheiden. Allerdings, solange Ihr Beobachtungsfenster$T_\mathrm{longer}$endlich ist, wird es immer Verstimmungen geben$\widetilde{\delta\omega}\ll 2\pi/T_\mathrm{longer}$die zu nahe beieinander liegen, als dass Sie sie zwischen ihnen auflösen könnten$\omega=\omega_0$Und$\omega=\omega_0+\widetilde{\delta\omega}$.

Es lohnt sich auch, darüber zu sprechen, was an den Rändern des Beobachtungsfensters passiert, sowie die Erzeugung der Welle. Hat Ihre Welle einen scharfen Cutoff, der sofort von einer endlichen Amplitude auf Null geht? An der Grenze ist es dann kaum monochromatisch. Stattdessen möchten Sie vielleicht, dass es während einer Übergangszeit reibungslos von null auf Null geht$\Delta T$, aber diese Übergangsperiode, während der sich die Amplitude ändert, wird es für Sie schwieriger machen, zwischen zwei Wellen zu unterscheiden, die nur einen kleinen Bruchteil eines Bogenmaßes in der Phase voneinander entfernt sind.

Also, was bedeutet das? Es sagt Ihnen, dass ein echter monochromatischer Impuls im wirklichen Leben unmöglich zu realisieren ist, denn mit „echtem monochromatischem Impuls“ meinen wir das mathematisch idealisierte Modell, das seit Ewigkeiten eingeschaltet ist und bis in alle Ewigkeit eingeschaltet bleiben wird. Was Sie erzeugen können, sind Wellen, die monochromatischer sind, als Ihr Experiment auflösen kann. In diesem Fall können Sie einfach die monochromatische Annäherung verwenden, ohne sich Sorgen zu machen – aber das macht die Welle nicht wirklich monochromatisch.

Schließlich ist es auch wichtig zu beachten, dass die Tatsache, dass monochromatische Wellen unphysikalisch sind, sie nicht weniger nützlich macht. Wenn wir monochromatische Wellen betrachten, betrachten wir normalerweise die Dynamik einer oszillierenden Größe$u(t)$die auf ein lineares System reagiert. In diesem Fall ist es oft überwältigend einfacher zu sehen$u(t)$als Überlagerung ebener Wellen$e^{-i\omega t}$mit etwas Gewicht$\tilde u(\omega)$, dh zu dekonstruieren$u(t)$als seine Fourier-Transformation:

$$u(t) = \int_{-\infty}^\infty \tilde u(\omega) e^{-i\omega t}\mathrm d\omega.$$ Wenn die Dynamik linear ist, können wir uns einfach unabhängig darüber Gedanken machen, wie jede monochromatische Komponente auf die Dynamik reagieren wird, ohne darauf achten zu müssen, dass sie unphysikalisch ist, und sie dann später zusammensetzen, wenn wir in die Zeit zurücktransformieren Domain. Wann immer wir uns mit der Physik monochromatischer Wellen befassen (wie beispielsweise in der Helmholtz-Gleichung oder der Phasenanalyse ), ist dies immer die zugrunde liegende Denkweise.

Dies folgt aus der klassischen Fourier-Analyse. Die Frequenzspreizung und die Zeitdauer eines Impulses hängen zusammen durch

$$\Delta \omega \Delta t \approx 2 \pi$$ um also einen wirklich monochromatischen Impuls zu erzeugen $\Delta \omega$ist grundsätzlich $0$impliziert, dass dieser Puls unendlich lang ist. Somit kann kein Puls mit einer endlichen Dauer wirklich monochromatisch sein.

Um Impulse zu erzeugen, beginnen Sie mit einer reinen monochromatischen Welle und fügen eine Impulsform hinzu. Wenn Sie nun eine Fourier-Transformation auf diese pulsförmige Welle anwenden, werden Sie sehen, dass Ihre Delta-Spitze breiter geworden ist. Die Fourier-Transformation ist also Ihre Verbindung zwischen dem Raum- und dem Zeitbereich. Je schärfer Ihre Pulse sein sollen, desto mehr Hochfrequenzkomponenten benötigen Sie, um die gewünschte Pulsform zu erreichen.

Hier ist eine Visualisierung der Fourier-Transformation eines gepulsten Signals. Sie können sich die blaue Niederfrequenzlinie als Ihre monochromatische Startfrequenz vorstellen, und die höheren Ordnungen sind diejenigen, die Sie benötigen, um Ihre Pulsform zu erhalten

Als reales Beispiel google diesen Artikel (Experimental realisation of Wheeler's delayd-choice GedankenExperiment, V. Jacques1, E Wu1,2, F. Grosshans1, F. Treussart1, P. Grangier3, A. Aspect3, and J.-F. Roch3" ), wo sie einen kleinen Diamantkristall verwenden, um einzelne Lichtphotonen zu erzeugen.

Die Pulsrate ist auf 4 MHz eingestellt, aber die Photonen sind gut getrennt. Die Farbe driftet um einige Nanometer, aber natürlich hat jeder Puls seine eigene Farbe.

Theorie

Eine elektromagnetische Strahlung ist monochromatisch, wenn alle Bestandteile dieser Strahlung die gleiche Wellenlänge bzw. die gleiche Frequenz bzw. den gleichen Energiegehalt haben. Ein Beispiel für EM-Strahlung ist eine Glühbirne. Dieses Licht ist kaum monochromatisch, weil die Elektronen, die die Photonen emittieren, auf unterschiedlichen Ebenen angeregt werden.

Eine Ausnahme bilden irgendwie Natriumdampflampen , zu denen Wikipedia sagt:

Diese Lampen erzeugen ein praktisch monochromatisches Licht mit einer durchschnittlichen Wellenlänge von 589,3 nm (eigentlich zwei dominante Spektrallinien, die bei 589,0 und 589,6 nm sehr nahe beieinander liegen).

Was ist mit einem Laser? Hier ein Bild aus Wikipedia über Laser :

Spektrum eines Helium-Neon-Lasers zur Veranschaulichung seiner sehr hohen spektralen Reinheit (begrenzt durch die Messapparatur). Die 0,002-nm-Bandbreite des Lasermediums ist weit über 10.000-mal schmaler als die spektrale Breite einer Leuchtdiode.

Berücksichtigt man, dass die technischen Möglichkeiten zur Herstellung reiner Kristalle und konstanter Temperaturen und konstanter Ströme usw. begrenzt sind, ist eine Bandbreite von 2 Pikometern nahezu monochromatisch.

Ein elektromagnetischer Impuls ist eine elektromagnetische Strahlung einer bestimmten Dauer. Um es mit Wikipedia zu sagen :

Eine schnelle, vorübergehende Änderung der Amplitude eines Signals von einem Grundlinienwert zu einem höheren oder niedrigeren Wert, gefolgt von einer schnellen Rückkehr zum Grundlinienwert.

Wenn wir also eine Glühbirne ein- und ausschalten, erzeugen wir einen Puls. Aber wenn dieses Licht nicht monochromatisch ist, dann ist auch der Puls nicht monochromatisch. Die emittierenden Photonenelektronen emittieren bei unterschiedlichen Temperaturen und emittieren dadurch Photonen mit unterschiedlicheren Energiewerten als im kontinuierlichen Modus.

Das gleiche Dilemma für einen Laserpuls. Durch Ein- und Ausschalten der Stromquelle erwärmt und kühlt sich der Kristall des Lasers ab und die Bandbreite wird breiter.

Üben

Welche Möglichkeiten haben wir, einen monochromatischen Puls zu erzeugen? @PhysicsDave erwähnt in seiner Antwort a

.. kleiner Diamantkristall zur Erzeugung einzelner Lichtphotonen.

• Nehmen Sie an, dass die Pulse zur Anregung der Photonenemission einer nach dem anderen mit konstanter Frequenz folgen (dies ist wichtig, weil jeder Puls die thermische Energie des Kristalls erhöht) und nehmen Sie an, dass die Wärmeabgabe ein Gleichgewicht mit der Erwärmung durch die Pulse ist. Angenommen, wir sind in der Lage, die thermische Energie des Kristalls auf einem konstanten Niveau zu stabilisieren.
• Angenommen, die Phononenschwingungen des Kristalls - angeregt durch die externen Pulse - seien eine ganze Vielzahl dieser Pulse.
• Nehmen Sie weiter an, dass die Anregungspulse immer dieselben Atome bzw. Elektronen an denselben Stellen in der Kristallstruktur treffen.

Selbst wenn alle Annahmen lösbar wären, ist die letzte unter Raumtemperaturbedingungen nicht lösbar. Die Elektronen sind verschoben und diese Verschiebung hat eine zufällige Verteilung. Unter solchen Bedingungen wird man theoretisch nie monochromatische Photonen bekommen. Wäre es möglich, Photonen zu erzeugen, die "monochromatischer" sind als die Nachweismethoden, die ich nicht kenne.

Kühlt man ein Material fast auf Null und verwendet man Material, in dem die Atome ganzzahlige Spins haben (wie Helium-4 ), verhalten sich diese Atome wie ein Teilchen und eine Anregung sollte zu einer Photonenemission bei einer Wellenlänge führen. Leider - wenn ich mich recht erinnere - ist nur ein Teil der Helium-4-Atome in Überlagerung, so dass man selbst für superflüssiges Helium-4 nicht nur eine Wellenlänge erhält.