Mehrere Informationskanäle in einer einzigen elektromagnetischen Welle?

Sag, wenn ich sende:$\sin(2\pi x)$

Und separat:$\sin(2\pi x\times 2)$

Endet es als eine einzelne Welle von:$\sin(2\pi x)+\sin(2\pi x\times 2)$?

Ja, genau so funktioniert es. Dies wird Überlagerung genannt . Es gibt elektromagnetische Wellen mit Hunderten von verschiedenen Frequenzen, die alle gleichzeitig die Luft erfüllen.

So etwas wie ein Radio kann den gewünschten Sender auswählen, indem es einen Resonanzkreis (auch als Bandpassfilter bekannt ) verwendet, der alle Frequenzen von EM-Wellen mit Ausnahme eines kleinen Bereichs dämpft.

Es ist möglich, dieses kombinierte Signal wieder in die ursprünglichen Komponenten zu zerlegen. Sie können das tun, weil die Sinus- und Kosinusfunktionen eine Basis eines Hilbert-Raums bilden , eines Raums, der als Raum bezeichnet wird$L^2(\mathbb{R})$.

Was bedeutet das nun? Das Wort „Raum“ ist vielleicht verwirrend, ein mathematischer Raum ist im Wesentlichen nur eine Menge mathematischer Objekte, in diesem Fall enthält der Raum alle möglichen kombinierten Signale (jedes Signal ist ein „Punkt“ im Raum).

In einem Hilbert-Raum ist es möglich, das Skalarprodukt zweier Elemente zu berechnen: let$\varphi,\psi$zwei mögliche Signale sein (zum Beispiel könnte es sein$\varphi(x)=\sin(x)$,$\psi(x)=\cos(2x)$) ^† , dann haben wir

$$\langle \varphi| \psi\rangle_{\!\!\!\!_{L^2(\mathbb{R})}} = \int_\mathbb{R}\!\mathrm{d}x\ \varphi(x)\cdot\psi(x)$$ Dies ergibt eine einzelne Zahl. Falls Sie nicht verstehen, was dieser Ausdruck bedeutet, machen Sie sich keine Sorgen. Sie können sich das Skalarprodukt als Maß für "wie stark das Signal ist" vorstellen $\varphi$ist 'im' Signal $\psi$", in einem Sinn.

Angenommen, Sie haben jetzt ein Signal gegeben

$$\varphi(x) = a\cdot \sin(x) + b\cdot \sin(2x)$$ Wo $a$Und $b$sind unbekannte Vorfaktoren. Es sind diese Vorfaktoren, die die eigentlichen Informationen in einem Funksignal enthalten, also möchten Sie sie kennen. Und da können wir unser Skalarprodukt einsetzen: Wir rechnen $$\langle \sin(x) | \varphi\rangle$$ Und $$\langle \sin(2x) | \varphi\rangle.$$ Eigentlich stoßen wir hier auf ein kleines Problem: Die Sinusfunktionen oszillieren buchstäblich für immer, unendlich . Das macht das Ergebnis des Skalarprodukts auch unendlich. Aber in Wirklichkeit haben wir keine unendlichen Signale, sie sind tatsächlich auf eine endliche Zeitdauer begrenzt. Angenommen, die Signale beginnen bei $x=0$und zu der Zeit enden $x=4\pi$, (vorher und nachher sind beide die ganze Zeit nur Null). Dann haben wir $$\begin{align} \langle \sin(x) | \varphi\rangle &= \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\psi(x) \\ &= \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\sin(x) + \int\limits_0^{4\pi}\!\mathrm{d}x\ \sin(x)\cdot\sin(2x) \end{align}$$ Die Integrale können mit Hilfe einiger bekannter trigonometrischer Gleichungen berechnet werden. Es stellt sich heraus, das Ergebnis ist $\langle \sin(x) | \varphi\rangle = 2\pi\cdot a$, wohingegen $\langle \sin(2x) | \varphi\rangle = 2\pi\cdot b$. Wir haben den Vorfaktor jeder der Sinusfunktionen berechnet!

^† Ich habe die "Zeit"-Variable genannt$x$hier, wie du es getan hast. In der Physik würden wir es normalerweise nennen$t$für Funksignale.