Bedeutet die Tatsache, dass es zwei verschiedene mathematische Definitionen von Entropie gibt, dass es zwei verschiedene Arten von Entropie gibt?

Überlegen Sie, wie Entropie in der klassischen Thermodynamik mathematisch definiert ist:

δ Q = T D S ,

in welchem δ Q steht für ein "Element" von Wärme, übertragen von einer klassischen Quelle zu einem klassischen Ziel (das sind klassische, kontinuierliche Substanzen ), T für die Temperatur sowohl der klassischen Quelle als auch der klassischen (was eine reversible Form der Wärmeübertragung impliziert), und D S für das Inkrement der konjugierten Variablen zur Temperatur T . Beachten Sie, dass die Formel kein impliziter Ausdruck für Entropie ist.

Im Gegensatz dazu ist die mathematische Definition für Entropie in der statistischen Mechanik explizit:

S = k B ln ⁡ Ω ,

in welchem S steht für die statistische Entropie, k B ist die Bolzmann-Konstante , und Ω für die Anzahl der Mikrozustände (oder mikroskopischen Konfigurationen).

Können diese beiden Ausdrücke irgendwie mathematisch verbunden werden? Ich denke nicht (also kann die klassische Entropie nicht aus der statistischen Entropie abgeleitet werden), denn wenn dies der Fall wäre, würde dies bedeuten, dass inkompatible Größen miteinander verglichen würden, was per Definition mit solchen Größen nicht möglich ist (obwohl es heißt das k B bildet die Brücke zwischen den beiden Ansätzen zur Thermodynamik).

Oder anders ausgedrückt: Wenn es zwei verschiedene mathematische Definitionen von Entropie gibt, bedeutet das nicht, dass es zwei verschiedene Arten (womit ich nicht unterschiedliche Interpretationen meine) von Entropie gibt, auch wenn sie dieselbe Einheit haben? Und kann man nicht dasselbe zum Beispiel über die unterschiedlichen Begriffe (mathematischen Definitionen) der Gravitationskraft im Newtonschen und im Einsteinium-Licht sagen? Oder, noch allgemeiner, zwischen verschiedenen Vorstellungen von beliebigen Größen in zwei unterschiedlichen theoretischen Ansätzen dieser Größen?

Ich habe wegen einiger Ergänzungen in der (sehr klaren) Antwort unten bearbeitet. Dort heißt es, dass die beiden unterschiedlichen Ansätze tatsächlich gleichwertig sind. Aber mein Punkt ist, ob sie wirklich gleich sindIn der Tat. Der statistische Ansatz soll grundlegender sein, woraus man den statistischen Ansatz ableitet, der nur im Zusammenhang mit Messungen verwendet werden kann. Oder anders ausgedrückt, der klassische Ansatz ist ein experimenteller Ansatz, aus dem (indem zunächst Postulate aufgestellt werden) eine Theorie abgeleitet werden kann, während der statistische Ansatz ein theoretischer ist, der durch Experimente überprüft werden kann. Ich glaube also nicht, dass sie vom Konzept her das einzig Gleiche sind. Natürlich kann man sagen, dass sich beide auf die einzig wahre Entropie beziehen, aber ich ziehe es vor zu glauben, dass sich beide Ansätze (theoretisch abhängig) auf wirklich zwei verschiedene Arten von Entropie beziehen.

Ich finde es aber ziemlich verwirrend und trotzdem.

Hat jemand eine Meinung zu dieser Angelegenheit? Ich habe gerade das Gefühl, dass diese Frage immer mehr in die wissenschaftsphilosophische Abteilung gehört und immer weniger in diese...

Ja, es ist nicht einfach, aber Sie können nachweisen, dass die beiden gleichwertig sind.
Okay, aber Gleichwertigkeit ist nicht gleich Gleichheit.
Vielleicht verstehe ich nicht genau was du sagst, aber wenn du das für den gleichen Vorgang berechnest Δ S Wenn Sie die beiden Definitionen verwenden, erhalten Sie dieselbe Nummer.
Der ganze Sinn eines guten Kurses in statistischer Mechanik besteht darin, zu zeigen, dass dies tatsächlich wahr ist. Es wird auch in fast jedem Lehrbuch zu diesem Thema prominent gezeigt.
@dmcee Danke für die (kleine) Bearbeitung. Nur um es zu wissen: Was macht diese Operation :\ genau? Es hat nicht viel mit dem Inhalt dieser Frage zu tun, aber trotzdem ...
@knzou Aber heißt das nicht, wenn es zwei verschiedene mathematische Ausdrücke für Entropie gibt (die in beiden Fällen dieselbe Einheit haben), dass sie nicht gleich interpretiert werden können?
Es ist eher so, dass wir zwei sehr unterschiedliche Denkweisen über genau dieselbe Sache haben, was in der Physik eigentlich eine übliche Situation ist. Das ist übrigens eine gute Frage, es ist nur so, dass sie vielleicht "zu umfangreich" ist, um eine nette Antwort zu bekommen, also wenn Sie keine bekommen, gibt es immer noch viele gute Bücher, die Sie sich ansehen könnten.
Das KLINGT für mich plausibel, aber wie können Sie die wahre Natur genau derselben Sache erkennen? Haben unsere Gedanken über ein Objekt keinen Einfluss (auf nicht-physische Weise) auf dieses Objekt? Außerdem gehen Sie davon aus, dass unsere Gedanken (oder mathematischen Formulierungen) von der Realität getrennt werden können. Man kann sich allerdings fragen, ob diese Annahme der Realität entspricht (anders gesagt, ob diese Annahme wahr ist). Aber das ist ein eher philosophisches Thema, über das bereits ein riesiger Berg an Worten geschrieben wurde.
@descheleschilder Stellen Sie sich das so vor: Unsere mathematischen Modelle physikalischer Systeme sind Funktionen, die einige Parameter des Systems aufnehmen und experimentelle Vorhersagen ausspucken. Alle Modelle, die einige experimentelle Vorhersagen für die gleichen Eingaben liefern, sind physikalisch nicht unterscheidbar. Wenn wir also beweisen, dass zwei solcher Funktionen identisch sind, dann müssen die Modelle physikalisch gleich sein. In der Physik kommt es ziemlich oft vor, dass wir zwei Modelle sind, die von vornherein verschieden sind, sich aber herausstellen, dass sie dieselbe Physik kodieren.
@descheleschilder wenn du meinst, \;dass dmckee eingefügt ist, ist es ein horizontaler Raum

Antworten (2)

Ein wichtiger Punkt ist, dass die statistische Entropie als Funktion der Gesamtenergie des Systems definiert ist

S ( E ) = k B ln ⁡ Ω ( E ) .
Gehen Sie nun davon aus, dass Ihr System mit Gesamtenergie startet E wird zu Energie gebracht E ' = E + δ Q durch Wärmeaustausch. Die hier ausgetauschte Wärme ist δ Q und Sie haben für unendlich kleine Veränderung
S ( E ' ) − S ( E ) = D S = D S D E δ Q
Die Temperatur wird eigentlich in der statistischen Mechanik als definiert 1 T = D S D E und Sie erhalten Ihre klassische Formel aus der statistischen Mechanik

D S = δ Q T

Daher sind beide Formeln tatsächlich verbunden.

Ein Punkt über den Unterschied zwischen Thermodynamik und statistischer Mechanik.

Bei der Thermodynamik geht es darum, was von außen über das System gesagt werden kann, das heißt Postulate der Thermodynamik gehen von der Existenz einiger Funktionen aus (innere Energie, Entropie, ...) und sagen, dass diese Funktionen ausreichen, um den Austausch des Systems zu beschreiben mit dem Äußeren. Die Thermodynamik bietet jedoch niemals eine Möglichkeit, diese Funktion und die damit verbundenen Größen (wie diese Wärmekapazität) zu berechnen.

Die statistische Mechanik befasst sich jedoch mit der Berechnung solcher Größen nach dem ersten Prinzip (man geht vom Hamiltonian des Systems aus).

Wir haben also keine a priori Inkompatibilitäten zwischen der Definition der Entropie in der Thermodynamik und der statistischen Mechanik, da die Thermodynamik niemals erklärt, wie man die Entropie berechnet, ohne Dinge messen zu müssen. (Wenn Sie die Wärmekapazität messen, sollten Sie in der Lage sein, die Entropie abzurufen, aber Sie müssen etwas messen.)

Ich verstehe jetzt, wie sie mathematisch verbunden werden können, aber bedeutet das, dass sie genau dasselbe sind, sogenannte? Mathematisch ist es offensichtlich. Aber ich meine, konzeptionell? Ich meine, Sie verwenden Größen aus zwei konzeptionell unterschiedlichen Theorien.
@descheleschilder Haben Sie ein Beispiel, das Sie in Betracht ziehen, wo mathematische Äquivalenz nicht physikalische Äquivalenz bedeutet? Das könnte helfen, Ihre Frage klarer zu machen.
Ich füge etwas über den Unterschied zwischen Thermodynamik und statistischer Mechanik hinzu und hoffe, es wird Ihnen helfen. Der entscheidende Punkt ist, dass Thermodynamik und statistische Mechanik keine konzeptionell unterschiedliche Theorie sind.
@descheleschilder Der obige Kommentar ist für dich. Hadrian, wenn du einen Benutzer nicht markierst, wird er möglicherweise nicht über deinen Kommentar benachrichtigt.
@descheleschilder Newtonsche Schwerkraft ist nicht gleichbedeutend mit GR. Es ist nur eine gewisse Grenze davon.
Die Newtonsche Schwerkraft ist also eine wirklich andere Art von Schwerkraft? Sie werden wahrscheinlich antworten, dass es nur EINE ART von Schwerkraft gibt (existiert) (die wahre), aber in diesem Fall berücksichtigen Sie nicht, welche Herangehensweise an die Schwerkraft verwendet wird. Und ich denke, dass unterschiedliche Herangehensweisen nicht alle zu der einzig wahren Art der Schwerkraft führen. Es ist relativ (in diesem Fall ein passendes Wort) zu dem Ansatz, was die wahre Natur der Schwerkraft definiert. Das bedeutet übrigens nicht, dass ich ein Relativist bin. Ich bin nicht irgendeine Art von --ist, weil sie zu abstrakt sind.
Und WENN es nur eine Art von Schwerkraft gibt, werden wir nie wissen können, wie sie ist. Ich würde also eher glauben, dass es wirklich verschiedene Arten von (theoretisch abhängiger) Schwerkraft gibt.
@AaronStevens Hallo zusammen! Ich habe diesen Kommentar zuvor versehentlich mit dem falschen Namen markiert, also ... Ich habe ein Beispiel in meine Frage geschrieben. Wie Sie lesen können, über die Newtonsche Gravitation im Vergleich zur Einsteinschen Gravitation. Sie können mathematisch übersetzt werden (ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies in beide Richtungen möglich ist), und sind daher gleichwertig. Aber das ist NICHT dasselbe wie identisch zu sein, wenn Sie verstehen, was ich meine. Ich stimme nicht zu (aber ich weiß, was Sie meinen), dass beide thermodynamischen Ansätze konzeptionell nicht unterschiedlich sind. (Weiter unten) – descheleschilder vor 3 Stunden
Der statistische Ansatz bietet eine tiefere Erklärung, was bedeutet, dass er theoretisch ist, während der klassische Ansatz experimentell ist. Ist das nicht ein konzeptioneller Unterschied?

Wie ich die Entropiedefinitionen betrachte, sind sie verbunden:

Klassische Thermodynamik: Entropie ist ein Maß für die Energiemenge, die nicht zur Verrichtung von Arbeit zur Verfügung steht.

Statistische Mechanik (Boltzmann-Entropie): Entropie ein Maß für die Menge an Informationen, die über das Vielteilchensystem nicht verfügbar sind (dh Entropie ist ein Maß für potenzielle Informationen, und Boltzmann = Shannon-Entropie, wenn Mikrozustände gleichwahrscheinlich sind)

Also – wenn es sich um dieselbe Entropie handelt – ein Maß für nicht verfügbare Energie oder Information

dann muss Energie proportional zu Information sein, richtig?

Sicher ist es: Landauers Prinzip, der mathematische Zusammenhang.

Das ist eine sehr interessante Perspektive! Dies kann bereits bedeuten, dass Sie im Voraus die Position einnehmen, dass die beiden NICHT wirklich gleich sind, aber dennoch. Ist es nicht so, dass in beiden Ansätzen der SUBSTANZ, auf den sich die GLEICHE Art von Energie bezieht, unterschiedlich definiert wird. Ich habe das Gefühl, dass dies eine immer philosophischere Frage sein wird.
Bedeutet die Tatsache, dass es zwei verschiedene mathematische Definitionen von Entropie gibt, dass es zwei verschiedene Arten von Entropie gibt?
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