Existenz negativer Temperaturen und die Definition der Entropie

Was ich also frage, ist, ob jemand auf StackExchange in der Lage sein könnte, etwas Licht in die Angelegenheit zu bringen, wie es zu Meinungsverschiedenheiten über etwas kommen kann, das scheinbar eine mathematische Tatsache sein sollte.

Die Hauptuneinigkeit scheint darin zu bestehen, welche Definition des Wortes "Entropie" im Kontext der statistischen Physik "richtig" ist. Definition ist eine Vereinbarung über die Wahl, die wünschenswert erscheint, aber nicht durch Tatsachen erforderlich ist. Unterschiedliche Menschen halten unterschiedliche Dinge für nützlicher, daher sollte es keine Überraschung sein, dass sie dazu gebracht werden, in ihrer Arbeit unterschiedliche Definitionen zu verwenden. Es sollte kein Einwand erhoben werden, solange dies zu neuen Erkenntnissen führt, die in gewissem Sinne unabhängig von der getroffenen Wahl sind.

Das Überraschende ist, dass die Autoren der Arbeit behaupten, dass ihre Definition die Definition der Entropie ist , und ihre Überlegenheit verkünden.

Ich habe in ihrem Papier kein überzeugendes Argument gefunden, um mich davon zu überzeugen, dass es irgendein Problem mit der Standardformel gibt$S = k_B\log \omega(U)$für Entropie und dass ihre Formel$S' = k_B\log \Omega(U)$sollte es ersetzen.

Die beiden Formeln führen für makroskopische Systeme zu fast demselben Entropiewert, für den der Begriff der Entropie ursprünglich entwickelt wurde. Dies liegt daran, dass ihr Unterschied aufgrund der hohen Größenordnung der relevanten Anzahl von Zuständen vernachlässigbar ist. Folglich führen die Standardregeln, die Entropie verwenden, für solche Systeme zu denselben Schlussfolgerungen, unabhängig davon, ob man sie verwendet$S$oder$S'$.

Für "fremde" Systeme mit konstanter oder abnehmender Zustandsdichte$\omega(U)$Wie Teilchen in einer 1D-Box oder einem harmonischen 1D-Oszillator führt ihre Definition zu sehr unterschiedlichen Entropiewerten für eine bestimmte Energie$U$und auch auf einen anderen Temperaturwert, da$\partial U/\partial S'|_{V=\text{const}} \neq \partial U/\partial S|_{V=\text{const}}$. Die Autoren sagen, dass die Positivität einer so berechneten Temperatur eine Tugend ihrer Entropie ist$S'$.

Aber solch seltsame Systeme können nicht im thermodynamischen Gleichgewicht mit gewöhnlichen Systemen sein, wenn sie dasselbe haben$\partial U/\partial S'|_{V=\text{const}}$. Wieso den? Wenn ein gewöhnliches System mit einem solchen fremden System verbunden wird, ist das wahrscheinlichste Ergebnis, dass das fremde System so viel Energie an das normale System abgibt, bis seine Energie auf einen Wert abfällt, bei dem seine Zustandsdichte gleich der Zustandsdichte des normalen Systems ist ( oder es ist keine übertragbare Energie mehr vorhanden). Nach dem Prinzip der maximalen Wahrscheinlichkeit die mittlere Energie$U_1$des ersten Systems im Gleichgewicht ist so, dass die Anzahl der zugänglichen Zustände für das kombinierte System maximal ist. Lassen Sie uns die Gesamtenergie des ersten Systems bezeichnen$U_1$, des zweiten Systems$U_2$und des kombinierten isolierten Systems$U$(Konstante). Wenn die Zustandsdichte differenzierbar ist, werden wir auf die Bedingung geführt

$$\frac{d}{dU_1}\left(\omega_1(U_1)\omega_2(U-U_1) \Delta U^2\right) = 0$$ $$\omega_{1}'(U_1)\omega_2(U_2) = \omega_{2}'(U_2)\omega_1(U_1)$$ $$\frac{\omega_{1}'(U_1)}{\omega_1(U_1)} = \frac{\omega_{2}'(U_2)}{\omega_2(U_2)}$$

und dies impliziert die Bedingung

$$\frac{\partial U_1}{\partial S_1} = \frac{\partial U_2}{\partial S_2}~~~(1)$$ wo $S_1 = k_B\log \omega_1(U_1)$und $S_2=k_B\log \omega_2(U_2)$. Das Prinzip der maximalen Wahrscheinlichkeit führt nicht zur Bedingung

$$\frac{\partial U_1}{\partial S'_1} = \frac{\partial U_2}{\partial S'_2}.~~~(2)$$ wo $S_1' = k_B\log \Omega_1(U_1)$und $S_2' = k_B\log \Omega_2(U_2)$. Wenn (1) gilt, gilt (2) in den meisten Fällen nicht. Da im Gleichgewicht die thermodynamischen Temperaturen gleich sind, ist die statistische Definition der Temperatur besser gegeben durch $\frac{\partial U}{\partial S}$eher als durch $\frac{\partial U}{\partial S'}$.

Wenn das fremde System isoliert ist und eine solche Energie hat, dass die Zustandsdichte mit der Energie abnimmt, ist die so erhaltene Temperatur negativ. Das ist gut so, denn es wäre falsch, ihm irgendeinen positiven Temperaturwert zuzuschreiben: Das System ist nicht im Gleichgewicht mit gewöhnlichen Systemen (solche mit mit der Energie zunehmender Zustandsdichte) positiver Temperatur.

Wir haben eine vollkommen eindeutige Definition der Temperatur für kanonische Ensembles, und diese Temperatur kann in Systemen mit begrenzter Energie negativ sein. Diese Art negativer Temperatur ist unbestreitbar, und einige würden argumentieren, dass sie in Spininversionsexperimenten realisiert wurde.

Das Problem ist, dass es zwei anständige, aber unvollkommene Definitionen für die Entropie eines mikrokanonischen Ensembles gibt . Dieses Ensemble wird von einigen* als nützlich für die Beschreibung einiger physikalischer Situationen angesehen.

Eine Definition (Oberflächenentropie/Boltzmann-Entropie) ist beliebter und kann für ihre Intuitivität gelobt werden. Die andere Definition (Volumenentropie/Gibbs-Entropie/Hertz-Entropie) ist weniger beliebt und weniger intuitiv, aber mathematisch gesehen sind ihre Eigenschaften bequemer und in gewisser Weise thermodynamisch genauer. Jedes ergibt eine eindeutige Definition der Temperatur, wenn es in der Formel verwendet wird$T^{-1} = dS/dE$. Was ist richtig? Die Oberflächenentropie ergibt in vielen seltsamen Systemen (und nicht nur in Systemen mit begrenzter Energie) negative Temperaturen, während die Volumenentropie niemals negative Temperaturen ergibt.

Dieser Oberflächen/Volumen-Streit ist mehr als 100 Jahre alt und wird nie beigelegt werden. Das liegt daran, dass keine Definition perfekt ist, es ist also eher Geschmackssache, welche Sie verwenden. Gibbs diskutierte in seinen Elementary Principles in Statistical Mechanics von 1902 ausführlich die Vorzüge und Probleme beider Ansätze. Ich bin mir nicht sicher, ob irgendeine Literatur seither außer der Wiederholung etwas Wertvolles hinzugefügt hat.

Das Problem ist im Wesentlichen folgendes: Ensembles, die nicht kanonisch verteilt sind, sind nicht so einfach, dass wir vorgeben könnten, sie seien thermodynamisch. Wir sollten also nicht wirklich versuchen, eine Temperatur zu benennen. Nun, wir können weitermachen und es tun, und tatsächlich können wir "Temperaturen" nennen, die auf gewisse Weise funktionieren. Diese "Temperaturen" werden jedoch niemals alle Eigenschaften erfüllen, die wir von der Thermodynamik erwarten. Als konkretes Beispiel erwarten wir intuitiv, dass sich nichts ändern sollte, wenn wir zwei Systeme mit gleicher Temperatur thermisch verbinden. Aber weder Oberflächen- noch Volumen-"Temperatur" haben diese Eigenschaft!

_{*: Meiner Meinung nach ist es fraglich, ob das mikrokanonische Ensemble irgendeine physikalische Situation beschreibt. Es wird oft gesagt, dass isolierte Systeme durch mikrokanonische Ensembles beschrieben werden, es reicht jedoch nicht aus, isoliert zu sein. Mikrokanonische Ensembles müssen auch eine genau bekannte Gesamtenergie haben , und das ist bei keinem Experiment der Fall. Vielmehr sind die oft diskutierten seltsamen isolierten Systeme (wie Spin-Inversionsexperimente) weder kanonisch noch mikrokanonisch, sondern ein kompliziertes Tier dazwischen.}

Ich habe diese Ausgabe mit diesem arXiv:1411.2425 und früheren Arbeiten beigetragen. Ich betone, dass die Gibbs-Entropie nicht "definiert", sondern "konstruiert" ist.

Es ist auf dem Ausdruck thermodynamischer Kräfte im mikrokanonischen Ensemble aufgebaut und so konstruiert, dass es diese immer und exakt reproduziert. Die Konstruktion ist tatsächlich einzigartig. Wenn also irgendein anderer Ausdruck verwendet wird, z. B. der von Boltzmann, verrechnen Sie diese thermodynamischen Kräfte, z. B. die Magnetisierung, falsch. Der Fehler, den Sie möglicherweise bei der Boltzmann-Entropie erleiden, kann manchmal sehr groß sein, siehe arXiv:1411.2425. Im Allgemeinen stimmt der Boltzmann-Ausdruck also nicht mit der thermodynamischen Entropie überein. Dementsprechend stimmt seine Ableitung im Allgemeinen nicht mit der inversen Temperatur überein.

Das ist alles.

Allein die in der Originalarbeit verwendeten thermodynamischen Größen waren für dieses Problem nicht geeignet.

Sie haben insbesondere berechnet$T=\frac{\partial U}{\partial S}$wo$U$ist die innere Energie und$S$die Entropie.

Es wurde jedoch eine falsche Definition der Entropie verwendet. Mathematiker haben bewiesen, dass die Verwendung dieser spezifischen Entropie falsch war und dass die Verwendung der richtigen Entropie zu einer endlichen positiven Temperatur führen würde.

Meiner Meinung nach verwenden die Leute heutzutage gerne irreführende Terminologie, nur weil sie cool aussieht und weil sie hilft, ihre Zeitung zu verkaufen.

Darüber hinaus ist eine negative Temperatur intuitiv falsch, da sie in gewisser Weise mit den thermischen Anregungen eines Systems zusammenhängen sollte. Daher bin ich der Meinung, dass diese Autoren nicht nur mit der Mathematik, sondern auch als Physiker versagt haben, außerdem haben sie eine falsche mathematische Definition verwendet und Ergebnisse veröffentlicht, die keinen physikalischen Sinn haben.

Ich muss sagen, dass ich in Bezug auf den Artikel über den Dirac-Monopol genauso denke.

PS

Schauen Sie sich zur Unterstützung der negativen Temperatur diese euristischen Argumente von Immanuel Bloch an. Er gibt zu, dass es nur eine bequeme Wahl ist, aber auf jeden Fall ist es für mich immer noch unsinnig.