Was sind gute Beispiele, um Einsteins Masse-Energie-Beziehung zu demonstrieren?

Eine etwas andere Perspektive, die etwas mehr Einblick in die Masse-Energie-Äquivalenz zeigt.

Wir fragen, was passiert, wenn wir Energie in eine Kiste stecken.

Die moderne Physik neigt dazu, an alles zu denken – Materie und Energie als „Stoff des Universums“, die Menge an „Stoff“ in einem System ist sein Gesamtenergieinhalt und „Stoff“ mit einer Gesamtenergie$E$hat immer die gleiche Masse$m$gegeben von$\frac{E}{c^2}$: Masse ist eine besondere Eigenschaft von "Zeug", die definiert (i) wie es auf Kraft reagiert (dh seine Trägheit) und (ii) wie es Gravitationsfelder beeinflusst und von ihnen beeinflusst wird. Diese beiden Massen sind nach dem Eötvös-Experiment und dem Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie gleich.

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Photon vor, ein normalerweise "masseloses" Teilchen (dh es hat keine Ruhemasse, was auch bedeutet, dass es sich immer mit Geschwindigkeit bewegt$c$). Jetzt fangen wir es in einem perfekten, gewichtslosen Resonanzraum ein.

Zuerst sind wir in Bezug auf den Hohlraum in Ruhe und darin ist Licht eingeschlossen (am einfachsten kann man es sich als ein Photon mit stehender Welle vorstellen, aber die Argumentation gilt für eine allgemeine Wellenform). Dann, bei$t=0$, wir schieben den Hohlraum und erhöhen sofort seine Geschwindigkeit von null auf$v$Meter pro Sekunde nach rechts und schieben Sie dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Natürlich wird das Licht durch den linken Spiegel blauverschoben und durch den rechten Spiegel rotverschoben. Es gibt im Allgemeinen eine komplizierte Abfolge von Kollisionen, aber was Sie finden, ist Folgendes: Der Gesamtimpuls, der erforderlich ist, um eine konstante Geschwindigkeit von zu erreichen$v$Ist$E v / c^2$. Mit anderen Worten, das System hat eine Trägheit, die durch gegeben ist$E / c^2$.

Sie können die Analyse durchführen, indem Sie (i) an ein Photon in der Box denken, die Doppler-Verschiebung an beiden Enden berechnen und dann die Differenz zwischen den roten und blauen Photonenimpulsen nach der Standardformel ermitteln$h\,\nu/c$, oder (ii) Sie können die vollständige klassische Berechnung durchführen, indem Sie die Lorentz-Transformation auf den Tensor des elektromagnetischen Felds anwenden und ausarbeiten, wie sich die Felder von links nach rechts und von rechts nach links transformieren. Bei der zweiten Berechnung benötigt das System einige Zeit, um einen stabilen Zustand zu erreichen, aber der erforderliche Gesamtimpuls ist immer noch vorhanden$E v / c^2$.

Indem Sie das Photon einschließen, geben Sie ihm also "Ruhemasse" - die Energie des Photons manifestiert seine Trägheit, indem es in einer Box eingeschlossen ist.

Setze diesen Gedankengang fort.

Schauen wir uns den Unterschied zwischen dem Elektron (oder einem anderen massiven Fermion) und dem Photon an. Die Curl-Maxwell-Gleichungen im freien Raum können geschrieben werden:

$\left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \,\Psi_+ = {\bf 0}$

$\left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \,\Psi_- = {\bf 0}$

Wo$\sigma_j$sind die Pauli-Spinmatrizen und die elektromagnetischen Feldkomponenten sind:

$\begin{array}{lcl}\Psi_\pm &=& \left(\begin{array}{cc}E_z & E_x - i E_y\\E_x + i E_y & -E_z\end{array}\right) \pm i \,c\,\left(\begin{array}{cc}B_z & B_x - i B_y\\B_x + i B_y & -B_z\end{array}\right)\\ & =& E_x \sigma_1 + E_y \sigma_2+E_z\sigma_3 + i\,c\,\left(B_x \sigma_1 + B_y \sigma_2+B_z\sigma_3\right)\end{array}$

und stellen das links- und rechtspolarisierte Lichtfeld dar, während die Dirac-Gleichung für ein massives Fermion geschrieben werden kann:

$\left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \, \Psi_+ = \frac{m\,c}{i\,\hbar} \Psi_-$

$\left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \, \Psi_- = \frac{m\,c}{i\,\hbar} \Psi_+$

wo jetzt die$\Psi_\pm$Sind$2\times1$komplexe Spaltenvektoren statt$2\times2$Matrizen (und sie sind auch nicht ganz dasselbe wie die sogenannten Spinoren, die gewöhnlich verwendet werden, um die Dirac-Gleichung zu schreiben: sie sind Summen und Differenzen der üblicheren Spinoren, aber das braucht uns hier nicht zu beunruhigen). Der Hauptpunkt dieser ausgefallenen Gleichungen, auch wenn Sie ihre Bedeutung nicht vollständig verstehen, ist, dass sie genau gleich sind, außer einer Sache: Die Maxwell-Gleichungen sind zwei ungekoppelte Gleichungen für die links- und rechtspolarisierten Lichtfelder: die Dirac-Gleichungen sind gleich, aber jetzt gibt es rechts einen Massenterm , der die ansonsten ungekoppelten Gleichungen koppelt . Man kann sich ein Elektron als zwei vorstellenMasselose Teilchen (Roger Penrose nennt diese kurios "Zig" und "Zag"), die so aneinander gebunden sind, dass der Zustand des Elektrons zwischen den beiden hin und her oszilliert (ich glaube eher, dass Penrose mit seinen süßen Namen mit Schrödingers Wort spielt für dieses "Zittern" des Elektrons: die Zitterbewegung).

Diese gegenseitige Kopplung erzeugt die Masse des Zwillingsteilchensystems. Die Kopplungskonstante$m$ist wie ein Seil zwischen den beiden ansonsten masselosen Teilchen. Die masselosen Teilchen schließen sich gegenseitig teilweise ein und erzeugen so die Trägheit des Elektrons auf genau die gleiche Weise, wie der einschließende Resonator die Trägheit des Photons manifestierte.

Tatsächlich wissen wir aufgrund dieser Idee, dass Neutrinos Masse haben – sie oszillieren zwischen Geschmacksrichtungen und daher müssen die Geschmacksrichtungen gekoppelt sein. Daher muss es zwischen ihnen einen Kopplungsterm ungleich Null geben, daher gibt es diesen Tethering-Effekt und wir wissen also, dass das Neutrino eine sehr kleine Ruhemasse haben muss, auch wenn wir noch nicht genau sagen können, was es ist.

1. Aus Masse wird Energie: Atombombe, wie sie im Zweiten Weltkrieg gegen Japan eingesetzt wurde.
2. Energie zu Masse: Zwei Photonen können sich zu einem Elektron und einem Positron verbinden, die Masse besitzen.

Masse zu Energie: Die Sonne, die hauptsächlich aus Wasserstoff besteht, fusioniert zu Helium.