Ableitung der Coulomb-Kraft-Gleichung aus der Idee des Photonenaustauschs?

Das klassische Coulomb-Potential kann in der nichtrelativistischen Grenze des Feynman-Diagramms auf Baumebene zwischen zwei geladenen Teilchen wiederhergestellt werden.

Wenden wir die Born-Näherung auf die QM-Streuung an, finden wir die Streuamplitude für einen Prozess mit Wechselwirkungspotential$V(x)$ist

$$\mathcal{A}(\lvert p \rangle \to \lvert p'\rangle) - 1 = 2\pi \delta(E_p - E_{p'})(-\mathrm{i})\int V(\vec r)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\vec p - \vec p')\vec r}\mathrm{d}^3r$$

Dies ist mit der aus dem Feynman-Diagramm erhaltenen Amplitude zu vergleichen:

$$\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}k r_0}\langle p',k \rvert S \lvert p,k \rangle \frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}$$

wo wir den (verbundenen) S-Matrix-Eintrag für zwei Elektronen betrachten, die aneinander streuen, wobei eines mit "festem" Impuls als Quelle des Potentials behandelt wird und das andere von diesem Potential gestreut wird. Unter Verwendung der Feynman-Regeln zur Berechnung des S-Matrix-Elements erhalten wir im nicht-relativistischen Limes mit$m_0 \gg \lvert \vec p \rvert$

$$\langle p',k \rvert S \lvert p,k \rangle \rvert_{conn} = -\mathrm{i}\frac{e^2}{\lvert \vec p -\vec p'\rvert^2 - \mathrm{i}\epsilon}(2m)^2\delta(E_{p,k} - E_{p',k})(2\pi)^4\delta(\vec p - \vec p')$$

Im Vergleich zur QM-Streuung müssen wir die verwerfen$(2m)^2$da sie durch unterschiedliche Normalisierungen des Impuls-Eigenzustands in QFT im Vergleich zu QM entstehen und erhalten:

$$\int V(\vec r)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\vec p - \vec p')\vec r}\mathrm{d}^3r = \frac{e^2}{\lvert \vec p -\vec p'\rvert^2 - \mathrm{i}\epsilon}$$

wobei beide Seiten Fourier-transformiert, das Integral gelöst und genommen wird$\epsilon \to 0$am Ende wird nachgeben

$$V(r) = \frac{e^2}{4\pi r}$$

als Coulomb-Potential.

Es gibt die (nicht-genetische) Beziehung zwischen der freien Energie der Wechselwirkung zweier Ströme$J^{a}, J^{b}$und der Verbreiter:

$$U = -\frac{1}{2} \int d^{4}xd^{4}y J^{a}(x) D_{ab}(x - y)J^{b}(y).$$ Es ist nicht allgemein, aber es verwirklicht das einfache Beispiel, das Ihnen helfen kann zu verstehen, wie man den Ausdruck für Kraft erhält.

Die Struktur des Feldes, die die Struktur des Propagators verursacht, hilft uns, den Ausdruck für die Kraft zu bekommen. Zum Beispiel für die Interaktion über Skalarfeld (durch Einstellung$D_{ab}(x - y) = \frac{1}{p^{2} - m^{2}}$) nach einfachen Transformationen für "punktförmige" Strömungen$J(x) = \delta (\mathbf x - \mathbf x_{0})$wir können bekommen

$$U = -\frac{1}{4 \pi |\mathbf r|}e^{-mr}.$$ Für Fall $m = 0$wir erhalten das Coulomb-ähnliche Wechselwirkungsgesetz.

Absolut dasselbe können Sie mit dem EM-Feld (in der Feynman-Spurweite) tun$D_{\mu \nu} = -\frac{g_{\mu \nu}}{p^{2}}$).

Wenn Sie eine explizite Herleitung benötigen, werde ich sie später geben.