Ableitung des Coulombschen Gesetzes aus der Quantenelektrodynamik [Duplikat]

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Coulombsche Gesetz in der Quantenelektrodynamik (QED) zu interpretieren. Interessanterweise führen sie nicht zu ganz der gleichen Schlussfolgerung (aber es gibt keine Inkonsistenz, weil sie nicht auf die gleiche Weise definiert sind).

Der am häufigsten verwendete Weg (auf den sich ACuriousMind in seinem Kommentar bezieht) besteht darin, den Begriff des klassischen Potentials mit dem des Streuungsquerschnitts zwischen zwei Ladungen in Beziehung zu setzen. Der Grund, warum dies die am häufigsten verwendete Methode ist, ist rein feldbezogen in dem Sinne, dass (Hochenergie-)Teilchenphysiker diejenigen sind, die am meisten QED verwenden und was sie tatsächlich messen, sind Wirkungsquerschnitte; das macht also Sinn.

In dieser streuenden Interpretation des Coulombschen Gesetzes steht die Wechselwirkung mit dem S-Matrix-Ausdruck in Form von Feynman-Diagrammen in Beziehung. Das erste Diagramm gibt das klassische Coulombsche Gesetz wieder, das unabhängig von der Planck-Konstante ist$h$während Terme höherer Ordnung Quantenkorrekturen enthalten, die als verschwinden$h \rightarrow 0$. Ein Beispiel für skalare QED finden Sie hier (Seite 12).

Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit, das Coulombsche Gesetz zu interpretieren, das mit dem Gebiet der Niedrigenergiephysik verbunden ist (aus der wir Atome, Moleküle usw. erhalten).

In dieser Interpretation (besser an die Niedrigenergiephysik angepasst) ist das Coulomb-Potential die QED-Grundzustandsenergie eines Systems aus zwei Punktladungen$q_1$Und$q_2$an zwei Stellen festgesteckt, die durch einen Abstand voneinander getrennt sind$r_{12}$.

Wenn wir zuerst den Hamiltonian des freien elektromagnetischen (EM) Feldes schreiben, haben wir:

$$\begin{equation} \hat{H}_{R} = \sum_{i = 1,2} \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega(\mathbf{k}) \:a^{\dagger}_{i,\mathbf{k}} a_{i,\mathbf{k}} \end{equation}$$ Wo $i$steht für die beiden möglichen Querpolarisationen und $\mathbf{k}$ist der Wellenvektor des Photons.

Mit dieser Definition der freien EM-Energie haben wir, dass die Vakuumenergie für das freie EM-Feld steht

$$\begin{equation} \langle 0| \: \hat{H}_{R} \: |0 \rangle = 0 \end{equation}$$

Wenn wir nun die beiden fixierten Ladungen einführen, müssen wir die Kopplung zwischen ihnen und dem EM-Feld berücksichtigen. Der Hamiltonoperator des Gesamtsystems lautet dann:

$$\begin{equation} \hat{H}_{tot} = \hat{H}_{R} + \hat{H}_{coupling} \end{equation}$$

Wo

$$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3r \: A_{\mu}\: j^{\mu} \end{equation}$$

Wo$\{A_{\mu}\}$ist das 4-Potenzial des EM-Feldes und$\{j^{\mu}\} \equiv (c\rho, \mathbf{j})$ist die 4-Stromdichte. In unserem Fall von angehefteten Gebühren haben wir das$\{j^{\mu} \} = (c[q_1\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)+q_2\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2)], \mathbf{0})$.

In einer kovarianten Formulierung von QED ist das Feld$A_s = A_0$kann in Bezug auf skalare Photonen geschrieben werden (die einige ungewöhnliche Eigenschaften haben):

$$\begin{equation} A_s(\mathbf{r}) = \int d^3k \sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2\pi)^3}}(a_s(\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) \end{equation}$$ was dazu führt $$\begin{equation} \hat{H}_{coupling} = \int d^3k c\sqrt{\frac{\hbar}{2\varepsilon_0 \omega (2 \pi)^3}}\left[a_s(\mathbf{k})(q_1 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) + a^{\dagger}_s(\mathbf{k})(q_1 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \right] \end{equation}$$

die nicht beobachtbar sind, da sie nicht zur Strahlungsfeldenergie beitragen$\hat{H}_R$.

Da im System Ladungen vorhanden sind, ist die Grundzustandsenergie nun von Null verschieden. Wir können versuchen, die Verschiebung abzuschätzen$\Delta E$wodurch die Vakuumenergie unter Verwendung der Störungstheorie bis zum ersten Nicht-Null-Term geändert wurde:

$$\begin{equation} \Delta E = \langle 0| \hat{H}_{coupling} | 0 \rangle + \sum_{n \neq 0} \frac{|\langle n|\hat{H}_{coupling}| 0 \rangle |^2 }{- E_n} + .... \end{equation}$$

wie es ziemlich offensichtlich ist, ist der erste Term null durch die Definition des Vakuums des freien Feldes. Der zweite Term ist nur für Fock-Zustände ungleich Null, in denen ein skalares Photon erzeugt wird. Damit erhalten wir:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \int d^3k \frac{|\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2}{-\hbar \omega} \end{equation}$$

Das haben wir jetzt:

$$\begin{equation} \langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle = c\sqrt{\frac{\hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})}}(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2}) \end{equation}$$

Hier zeigt sich nun die Verrücktheit der skalaren Photonen (in diesen sehr skizzenhaften Berechnungen). Wenn wir die quadratische Norm des Matrixelements berechnen, stellt sich heraus, dass sie für skalare Photonen negativ ist (dieser Trick ermöglicht es, lästigere Dinge verschwinden zu lassen, und lange Rede kurzer Sinn, so funktioniert es). Damit haben wir:

$$\begin{equation} |\langle \mathbf{k};s|\hat{H}_{coupling} | 0 \rangle |^2 = - \frac{c^2 \hbar}{2 \varepsilon_0 \omega(\mathbf{k})} |(q_1 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_1} + q_2 e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_2})|^2 \end{equation}$$

Beim Ersetzen im Ausdruck for$\Delta E$, findet man das:

$$\begin{equation} \Delta E \approx \epsilon_1 + \epsilon_2 + V_{coul} \end{equation}$$

Wo

$$\begin{equation} \epsilon = \int d^3k \frac{q^2}{2 \varepsilon_0 k^2} \end{equation}$$ ist die Selbstwechselwirkungsenergie der Ladungen mit sich selbst (kann als Emission und Absorption eines skalaren Photons durch dieselbe Ladung interpretiert werden)

Und

$$\begin{equation} V_{coul} = \int d^3k \frac{q_1 q_2 e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}}{2\varepsilon_0 k^2} = \frac{q_1q_2}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|} \end{equation}$$ ist das Coulomb-Wechselwirkungspotential.

Beachten Sie, dass, obwohl ich der Einfachheit halber nur die Störungsentwicklung bis zur zweiten Ordnung verwendet habe, sich herausstellt, dass der exakte EM-Grundzustand mit fixierten Ladungen an festen Orten tatsächlich genau gleich dem ist$\Delta E$wir haben gerechnet. Um den Punkt klarzustellen, gibt es in diesem Aufbau keine Quantenkorrektur der Coulomb-Wechselwirkung, da es sich um ein exaktes Ergebnis der QED handelt. Aus dieser Sicht ergeben sich Quantenkorrekturen, wenn man auch für die geladenen Teilchen eine dynamische Feldtheorie einführt; daher die Unterschiede zum Streubild.

Um mehr über dieses Bild zu erfahren, empfehle ich dringend dieses Buch , von dem die obige Zusammenfassung stark inspiriert ist (obwohl es einfacher geschrieben ist).