Gehen Sie von einem Scheitelpunkt zum gegenüberliegenden - Zwölfeck

Beachten Sie, dass 12 zu wenige Schritte sind, um das Zwölfeck zu umgehen. Daher muss die Ameise ein Netz von 6 Schritten entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn bewegen, um am gegenüberliegenden Scheitelpunkt zu landen. Also wenn er nimmt$n$Gesamtschritte, 6 von ihnen ergeben diese Nettoverschiebung und die restlichen$n-6$müssen sich aufheben, dh halb im Uhrzeigersinn und halb gegen den Uhrzeigersinn. Somit$(n-6)/2$muss eine ganze Zahl sein, also gibt es keine Pfade mit$n$seltsam.

Wenn$n$gerade ist, die Anzahl solcher Längenwege$n$ist nur die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl$(n-6)/2$Schritte in die eine Richtung und die restlichen Schritte in die andere Richtung, dh$p_n = 2\times\binom{n}{(n-6)/2}$, wobei der Faktor 2 ist, weil der Pfad entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn verlaufen kann.

Daher ist die Gesamtzahl der Pfade$\sum_{n=1}^{6} p_{2n} = \sum_{n=1}^{6} 2\binom{2n}{(2n-6)/2} = 548$.