Menschen sitzen um zwei Tische mit nummerierten Stühlen

Auf wie viele Arten 3 k Menschen auf nummerierten Stühlen um zwei runde Tische sitzen können? Erster Tisch haben 2 k Stühle, zweiter Tisch haben k Stühle. Auf wie viele Arten können sie sitzen, wenn zwei feste Personen nebeneinander sitzen müssen? Annehmen, dass k ≥ 2

Ich habe versucht, es zu lösen, aber es stellte sich heraus, dass meine Lösung falsch ist.

Antworten (1)

HINWEIS:

  • Wie viele Möglichkeiten gibt es zu wählen 2 k des 3 k Leute am ersten Tisch sitzen?
  • Stellen Sie sich nun vor, dass die Plätze am ersten Tisch von nummeriert sind 1 Zu 2 k . In wie vielen verschiedenen Bestellungen kann die 2 k Leute, die für den ersten Tisch ausgewählt wurden, sitzen auf diesen Plätzen? Beachten Sie, dass Sie einen Sitzplatz angeben können, indem Sie die auflisten 2 k Personen in der Reihenfolge, in der sie auf den Plätzen erscheinen 1 durch 2 k .
  • In wie vielen Bestellungen können die restlichen k Leute sitzen in der k Sitzplätze am zweiten Tisch?
  • Was müssen Sie schließlich mit diesen drei Zahlen tun, um die endgültige Antwort zu erhalten?

Hinzugefügt (und korrigiert): Um die zweite Frage zu behandeln, teilen Sie sie in zwei Fälle auf, je nachdem, ob die angegebenen Personen am ersten oder am zweiten Tisch sitzen. Wenn sie an erster Stelle sitzen, gibt es sie 2 k Paare benachbarter Sitze, die sie wählen können, und sie können in beliebiger Reihenfolge darauf sitzen, also gibt es 4 k Möglichkeiten, sich hinzusetzen. Der Rest 3 k − 2 in den übrigen können sich die Personen dann in beliebiger Reihenfolge setzen 3 k − 2 Sitze. Wenn sie am zweiten Tisch sitzen, gibt es sie k Paare benachbarter Sitze, die sie wählen können, und sie können in beliebiger Reihenfolge darauf sitzen, also gibt es 2 k Möglichkeiten für sie, sich hinzusetzen, und das Übrige 3 k − 2 im übrigen können sich die Personen wieder in beliebiger Reihenfolge setzen 3 k − 2 Sitze.

Beachten Sie jedoch, dass diese Analyse für versagt k = 1 Und k = 2 . Für k = 1 Das angegebene Paar muss am ersten Tisch sitzen, also gibt es nur 2 mögliche Sitzgelegenheiten. Für k = 2 Der erste Teil der Analyse ist in Ordnung: Wenn sie am ersten Tisch sitzen, gibt es sie 8 Möglichkeiten für sie zu sitzen, und die restlichen 4 Menschen können in jedem der verbleibenden sitzen 4 Sitze. Wenn sie jedoch am zweiten Tisch sitzen, gibt es nur noch 2 mögliche Vorkehrungen für sie, nicht 4 .

Ist die Antwort ( 3 k ) ! ?
@ user4201961: Ja, das ist es. Übrigens habe ich gerade festgestellt, dass es einen kürzeren Weg gibt, um zu diesem Ergebnis zu gelangen: Jede Art, sie zu platzieren, wird einzigartig erreicht, indem man sie in einer der Reihen aneinanderreiht ( 3 k ) ! mögliche Bestellungen, dann mit dem ersten 2 k Platz nehmen 1 durch 2 k am ersten Tisch in dieser Reihenfolge und schließlich am letzten k Platz nehmen 1 durch k am zweiten Tisch in dieser Reihenfolge.
Danke. Was ist mit dem zweiten Teil? "Auf wie viele Arten können sie sitzen, wenn zwei feste Personen nebeneinander sitzen müssen?"
@user4201961: Tut mir leid, diesen Teil habe ich verpasst. Lassen Sie mich meiner Antwort etwas hinzufügen. OK, erledigt; mal sehen ob das hilft.
Ist die Antwort 4 ⋅ ( 3 k − 1 ) ! ?
@ user4201961: Sieht gut aus für mich.
Aber wenn eine doppelte Person am ersten Tisch sitzt, können wir einen Stuhl für ihn auswählen 2 k − 1 Wege. Andere 3 k − 2 Personen können darin Platz nehmen ( 3 k − 2 ) ! Wege. Und wenn eine doppelte Person am zweiten Tisch sitzt, können wir einen Stuhl für ihn auswählen k − 1 Wege. Andere 3 k − 2 Personen können darin Platz nehmen ( 3 k − 2 ) ! Wege. Dann lautet die endgültige Antwort 4 ⋅ ( 3 k − 2 ) ⋅ ( 3 k − 2 ) !
@user4201961: Eigentlich liegen wir beide falsch; Ich war gestern zu voreilig, und Sie haben in Ihrem letzten Kommentar ein paar Fehler gemacht. Geben Sie mir ein paar Minuten, um meine Antwort auf den zweiten Teil zu korrigieren.
@ user4201961: Insbesondere dein Faktor von 4 sollte ein Faktor sein 2 , für das Vorhandensein der angegebenen Paarwechselsitze und Ihres Faktors von 3 k − 2 sollte sein 3 k : Es gibt tatsächlich 2 k Paare benachbarter Sitze am ersten Tisch, nicht 2 k − 1 , und ähnlich gibt es k Paare am zweiten Tisch.
Die Antwort lautet also 6 k ⋅ ( 3 k − 2 ) ! ?
@ user4201961: Ja, für k ≥ 3 : Die Analyse gliedert sich für k = 1 Und k = 2 , und ich werde eine entsprechende Anmerkung hinzufügen.
Vielen vielen Dank.
@ user4201961: Sehr gerne; Es tut mir leid, dass ich es anfangs für Sie vermasselt habe.
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