Beweisen Sie: ∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)∑kk(mk)(nk)=n(m+n−1n)\sum_k k \binom{m}{k} \binom{ n}{k} = n\binom{m+n-1}{n}

Berechnen Sie den Koeffizienten von$x^n$beim Ausbau von$(1+x)^r (1+x)^s=(1+x)^{r+s}$...(1)

Als,$k{n \choose k}{m \choose k}=n{n-1 \choose k-1}{m \choose k}=n{n-1 \choose n-k}{m \choose k}$.

Aus (1) folgt nun das Ergebnis.

Die Vandermonde-Identität , die sich aus der Doppelzählung oder der Erweiterung ableitet$(1+x)^s (1+x)^r = (1+x)^{s+r}$ist wie folgt.
$\sum_k \binom{r}{k} \binom{s}{n-k} = \binom{r+s}{n}.$

Jetzt im VI, put$r=m$Und$s=n-1$. Also haben wir
$\sum_k \binom{m}{k} \binom{n-1}{n-k} = \binom{m+n-1}{n}.$
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit$n$,
$\sum_k n \binom{m}{k} \binom{n-1}{n-k}=n\binom{m+n-1}{n-k}.$

Weil
$\sum_k k \binom{n}{k} \binom{m}{k} = \sum_k n\binom{n-1}{k-1} \binom{m}{k} = \sum_k n\binom{n-1}{n-k} \binom{m}{k}$,
dann
$\sum_k k \binom{n}{k} \binom{m}{k} =n\binom{m+n-1}{n-k}.$

$\square$

Danke an @user152715 für seine Anleitung