Wie viele nicht wachsende 4-stellige Zahlen gibt es?

Alternativer Ansatz, der zur gleichen Antwort wie der von Bulbasaur führt.

Tatsächlich kann sein Artikel „Kombination mit Wiederholung“ als eine alternative Darstellung von Sternen und Balken verstanden werden , die hier ebenfalls diskutiert wird .

Ziehen Sie eine spezifische Lösung in Betracht

Wo$x_1, x_2, \cdots, x_{10}$müssen alle
nicht negative ganze Zahlen sein,
und$x_k$bezieht sich auf die Anzahl der Vorkommen der Ziffer$k$
in der 4-stelligen Zahl, wann$k \in \{1,2,\cdots, 9\}$.
Kannst du dann lassen$x_{10}$beziehen sich auf die Anzahl der Nullen in der 4-stelligen Zahl.

Für jede solche Lösung gibt es genau eine Möglichkeit, wie die 4 Ziffern, die der Lösung entsprechen, in eine nicht aufsteigende Reihenfolge permutiert werden können.

Daher ist die Aufzählung der möglichen zufriedenstellenden Anzahl von vierstelligen Zahlen die gleiche wie die Aufzählung der Anzahl von Lösungen der Gleichung in (1) oben.

Laut den verlinkten Artikeln ist die Anzahl der Lösungen zu
$x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n$,
wo$x_1, \cdots, x_k$müssen nicht negative ganze Zahlen sein
$\displaystyle \binom{n + [k-1]}{k-1}.$

Bei dem vorliegenden Problem$n = 4$Und$k = 10$.

Weiter, wie in der Antwort von Bulbasaur vorgeschlagen, da die Ziffer ganz links gleich ist$0$ist normalerweise verboten, die spezifische 4-stellige Zeichenfolge von$0-0-0-0$kann erforderlich sein, von der Gesamtzahl abgezogen zu werden oder nicht.

Anstelle der normalen Kombination sollten Sie die Kombination mit Wiederholung verwenden, da einige Ziffern gleich sein können, z$8888,6655$usw. Wenn Sie eine normale Kombination verwenden, finden Sie die Ziffern streng steigend oder fallend. Dann ,

Siehe: Kombination mit Wiederholung

Bisher haben Sie alle Optionen gezählt, bei denen die Zahl aus vier verschiedenen Ziffern besteht, und festgestellt, dass dies nicht alle sind. Jetzt müssen Sie herausfinden, wie die anderen Optionen aussehen können.

Ich denke, dass die Fälle, die Sie kurz vor der Identifizierung stehen, die Antworten auf die Frage "Welche Ziffern werden wiederholt?" Bisher haben Sie den Fall "alle Ziffern sind unterschiedlich" durchgeführt. Eine andere könnte sein: "Die erste Ziffer wird dreimal wiederholt, und die letzte Ziffer ist anders". Ein anderer könnte sein "alle Ziffern sind gleich". Denke all diese Fälle durch und zähle sie für jeden auf die gleiche Weise, wie du es im Fall „alle Ziffern sind unterschiedlich“ getan hast.

Alternativ müssen Sie keine Fälle verwenden, wenn Sie es etwas anders betrachten möchten. Sie haben damit begonnen, vier Zahlen aus [9,8,7,6,5,4,3,2,1,0] auszuwählen, aber Sie haben sie alle unterschiedlich gemacht. Sie würden also nie etwas mit wiederholten Ziffern bekommen. Was passiert, wenn Sie immer noch vier Zahlen auswählen, sich aber dieselbe Zahl erneut auswählen lassen?