Allgemeine Richtlinien für die Modellierung einer Ionenspirale mit niedrigem Schub?

Die Regel haben Sie für die Summe$\Delta V$einer Spirale mit niedrigem Schub ist eine Obergrenze, die erreicht wird, wenn Sie den Schub auf Null gehen lassen. Allerdings dauert das unendlich lange. Die Summe$\Delta V$einer Spirale mit Nicht-Null-Schub ist geringer, und die Zeit ist endlich. Aber es ist eine gute Faustregel für schnelle Berechnungen, wenn es darum geht, die Machbarkeit zu ermitteln.

Die Ableitung der Faustregel ist recht einfach. Betrachten Sie eine verschwindend kleine Hohmann-Übertragung. Sie werden feststellen, dass die$\Delta V$Die Summe der beiden infinitesimalen Verbrennungen bei der Anfangsbahn und bei der Apoapsis der Transferbahn ist gleich der Differenz der Bahngeschwindigkeiten. Wenn Sie diese dann für eine endliche Erhöhung der Umlaufbahn addieren, erhalten Sie die Differenz$\Delta V$der Anfangs- und Endbahn.

Um die wirkliche Summe herauszufinden$\Delta V$und um eine tatsächliche Flugbahn zu zeichnen, die nicht unendlich viele Umlaufbahnen macht, bevor sie irgendwo ankommt, erfolgt dies am besten mit numerischer Integration.

Hier ist ein Beispiel für eine Spirale aus einer kreisförmigen Umlaufbahn, um zu entkommen ($C_3=0$):

Dies ist auf die anfängliche kreisförmige Umlaufbahn normalisiert, wobei die Entfernungen in Einheiten des anfänglichen Umlaufbahnradius angegeben sind und die Beschleunigung bei konstant ist$10^{-3}$der Gravitationsbeschleunigung des Körpers beim anfänglichen Bahnradius. Die Summe$\Delta V$zu entkommen ist 0,856 der anfänglichen Umlaufgeschwindigkeit, verglichen mit 1,0 für die Faustregel. Die Gesamtzeit zum Entkommen beträgt 136 anfängliche Umlaufzeiten. Es umkreist den Körper etwa 40 Mal, bevor es entweicht.

Die ersten Umlaufbahnen sind nah genug, dass Sie sie bei der gezeigten Auflösung nicht erkennen können. Dies wird noch schlimmer für kleinere Beschleunigungen.$10^{-3}$ist eigentlich ziemlich hoch. Ich habe es ausgewählt, damit Sie die Spirale besser sehen können. Diese Zeit von einer niedrigen Erdumlaufbahn beträgt etwa 8,5 Tage. Eine typische Spirale könnte eher wie Monate mit Beschleunigungen von sein$10^{-4}$der anfänglichen Gravitationsbeschleunigung oder weniger. Versuche beim Zeichnen, die eine feste Scheibe zeigen, bis fast zum Ende, wo Sie die spiralförmige Flucht sehen.

Hier ist ein Beispiel einer Spirale von LEO (400 km) nach GEO mit der gleichen Normalisierung und einer normalisierten konstanten Beschleunigung von$10^{-4}$. Es dauert ungefähr zwei Monate für 945 Umrundungen. In diesem Fall die Summe$\Delta V$kommt der Faustregel sehr nahe. Dies ist vereinfacht, da der endgültige Flugbahnwinkel hier etwa ein halbes Grad beträgt. Es ist also etwas Zeit und$\Delta V$übrig bleibt, um die Umlaufbahn zu zirkulieren.

Sie können dieses Diagramm annähern, indem Sie jeweils um eine Umlaufbahn vorrücken, wobei Sie die Umlaufdauer multipliziert mit der Beschleunigung als verwenden$\Delta V$und Anheben der Umlaufbahn um den entsprechenden Betrag, jeweils verbunden mit einer linear ansteigenden Spirale.

Nur um Ihre ursprüngliche Frage zu ergänzen: "Ist das richtig?" - ja, aber nur für Spiralen zwischen zwei Kreisbahnen.

Beantwortung Ihrer Anfrage nach "Richtlinien für allgemeinere Szenarien": Wenn Sie das ∆V finden wollten, um von einer elliptischen Umlaufbahn wie GTO und Spirale auf GEO zu übertragen, könnten Sie einer Methode wie in Mark Adlers zweitem Absatz oben folgen - mit eine deutliche Anpassung. Für eine solche Übertragung ist es am besten, sich an einen kurzen Bogen um das Apogäum zu halten und zu akzeptieren, dass der Teil des Bogens, der vom genauen Apogäum entfernt ist, einen Verlust erleidet. Die Bewertung dieses Verlusts erfordert eine numerische Integration. Wenn Sie jedoch wirklich nur eine ungefähre Zahl wünschen, können Sie eine Kosinusabhängigkeit annehmen, dh Effizienz 1 am Apogäum, 0 an den Enden der kleinen Halbachse (1/4 einer Umlaufbahn entfernt).