Ihre Frage ähnelt einer anderen, die ich beantwortet habe , und ich werde mich stark davon borgen.

Eis VII

Ich kann die Antworten mit einigen vereinfachenden Annahmen beginnen, aber jemand anderes hat vielleicht eine bessere Vorstellung von den Feinheiten, die mit dieser Berechnung verbunden sind. Die spezifischen Annahmen, die ich treffen werde, sind:

1. Konstante Temperatur

2. Wasser ist nicht komprimierbar und hat auf planetarischen Maßstäben eine durchschnittliche Dichte von ~1,5 g/cm$^3$(Siehe meine andere Antwort zur Begründung)

Mit diesen Annahmen wird dies wirklich nur zu einem Plug-in-the-numbers-Problem.

Hier ist das Wasserphasendiagramm, das ich verwenden werde, um über den Rest dieses Problems zu sprechen:

Angesichts unserer ersten Annahme werde ich milde 350.000 für das Wasser und Eis des Planeten wählen. Im obigen Diagramm können wir sehen, dass Eis VII bei ~2 GPa auftaucht. Es stellt sich also die Frage, wie viel Wasser benötigt wird, um im Kern einen Druck von 2 GPa zu erreichen?

Nun, bei unserer zweiten Annahme würde es 200 Kilometer Wasser brauchen, um 2 GPa zu erreichen, bei der klassischen Umrechnung von 101 kPa/10 m. Mit diesen Informationen können wir die Masse eines Planeten über die Gleichung berechnen

$$m = density*volume = \rho*\frac{4\pi r^3}{3}$$

$$(1.5\frac{g}{cm^3}*10^{15}\frac{cm^3}{km^3})*(\frac{4\pi 200^3\ km^3}{3}) = 5*10^{22}g$$

$5*10^{19}$kg

Cool! Von hier aus können wir sehen, dass er im Bereich großer Asteroiden oder kleiner Monde liegt.

Natürlich ist dies im Grunde eine ungefähre Schätzung, aber ich würde sagen, dass sie auf eine Größenordnung genau ist. Wie in den Kommentaren zu meiner anderen Antwort ausgeführt, ist die Annahme einer konstanten Temperatur möglicherweise ziemlich gültig, je nachdem, wie sich Ihr Planet gebildet hat und wie alt er ist. Die "durchschnittliche" Wasserdichte lässt viel Raum für Fehler, aber ich war nicht sicher genug in meinem Kalkül, um die vollständige Ableitung durchzuführen (Änderung des Kompressionsmoduls in Bezug auf den Druck mit zunehmender Tiefe).

Eis X

Dies wird viel komplizierter, weil wir hier mit zwei Shells arbeiten, aber wir haben ähnliche Annahmen:

1. Konstante Temperatur

2. Wasser ist nicht komprimierbar und hat auf planetarischen Maßstäben eine durchschnittliche Dichte von ~1,5 g/cm$^3$

3. Eis VII ist nicht komprimierbar und hat auf planetaren Maßstäben eine durchschnittliche Dichte von ~2,3 g/cm$^3$

Bei 350K erreichen wir Eis X bei etwa 50 GPa und können die Frage ähnlich wie oben beantworten – wie dick muss Eis VII sein, um diesen Druck zu erreichen? Wir wissen bereits, dass wir 200 km flüssiges Wasser entlang der Oberfläche haben werden, also ist der Kern hier das einzig Neue.

Um zusätzliche 48 GPa durch Ice VII zu erhalten, benötigen wir ungefähr 2000 zusätzliche Kilometer:

$$h = \frac{48*10^9}{2300*9.8} = 2130km$$

Nehmen Sie diese Schätzung mit einem großen Salzkorn.$g$wäre nicht durch den Kern eines Planeten konstant, sondern würde eher von der Masse des Planeten und der Entfernung von der Oberfläche abhängen, was bedeutet, dass wir uns wieder in diesen fiesen Differentialgleichungen befinden. Mann, kein Wunder, dass Physiker die ganze Zeit wütend sind.

Damit können wir unsere Masse wieder mit der Gleichung berechnen:

$$m = (V_{core}*\rho_{core}+V_{ocean}*\rho_{ocean})$$

die, wenn wir unsere Zahlen einsetzen und richtig lösen, zurückkehrt

$8.9*10^{22}$kg

Das ist etwa so groß wie die größten Monde und im Bereich der kleinsten Planeten. Gute Frage!

Ich beschloss, ein Programm zu schreiben, um dies zu berechnen. Es baut iterativ einen Planeten vom Kern nach außen in Schichten von einem Meter auf, berechnet die Schwerkraft und passt die Dichte des aktuellen Materials für den Druck bei jedem Schritt an.

#include <math.h>
#include <stdio.h>

/* Units are meters, kilograms, seconds */
const double G = 0.00000000006674;

struct
{
    double baseDensity;
    double bulkModulus;
    double lowerPressure;
    double upperPressure;
    const char *name;
} Properties[] = {
    {1000, 2200000000, 50000, 2000000000, "water"},
    {1500, 23900000000 , 2000000000, 50000000000, "ice VII"},
    {2500, 23900000000, 50000000000, 400000000000, "ice X"},
    {3000, 10000000000000000, 400000000000, 1000000000000, "ice XI"}    /* Mostly made-up, but it doesn't matter, because we've only got a 1-meter sphere of it. */
};

/* Calculate from the inside out. */
void CalculatePlanet(double *radius, double *mass)
{
    int currentMaterial = 3;    /* Start with a 1-meter layer of ice XI */
    double pressureNeeded = Properties[currentMaterial].lowerPressure;  /* We need to stack up material to produce this much pressure */
    *radius = 0;
    *mass = 0;

    while(currentMaterial >= 0)
    {
        double shellMass;   /* Mass of the shell */
        double shellPressure;   /* Pressure provided by the shell */
        double newRadius = *radius + 1.0;
        double shellDensity = (pressureNeeded * Properties[currentMaterial].baseDensity) / Properties[currentMaterial].bulkModulus + Properties[currentMaterial].baseDensity;

        /* Add a one-meter layer to the planet */
        shellMass = (((newRadius) * (newRadius) * (newRadius)) - (*radius * *radius * *radius)) * (4.0/3.0) * M_PI * shellDensity;

        shellPressure = G * *mass / (*radius * *radius) * shellDensity;
        if(isnan(shellPressure)) shellPressure = 0;

        pressureNeeded -= shellPressure;
        *mass += shellMass;
        *radius += 1.0;

        if(pressureNeeded < Properties[currentMaterial].lowerPressure)
        {
            printf("Layer: %i %lf %lf %lf %lf %lf\n", currentMaterial, shellPressure, pressureNeeded, shellMass, *mass, *radius);
            currentMaterial--;
        }
    }
}


int main(void)
{
    double mass = 0;
    double radius = 0;
    CalculatePlanet(&radius, &mass);

    double volume = radius * radius * radius * M_PI * 4.0 / 3.0;
    double density = mass / volume;
    double surfaceGravity = G * mass /(radius * radius);

    printf("Planet calculated.  Radius %.0lf meters, mass %.0lf kg, density %0lf kg/m3, gravity %lf m/s2\n", radius, mass, density, surfaceGravity);
}

Unter Verwendung des gleichen 350K-Planeten, der angenommenen Massenmodule und des Phasendiagramms wie Dubukay erhalte ich die folgenden Planeten:

Wasserkern (zur Überprüfung der Gesundheit): Radius 1 Meter, Masse 4189 kg, Dichte$1000 kg/m^3$

Eiskern VII, umgeben von 2555498 Metern Wasser: Radius 2555499 Meter, Masse$8.98 * 10^{22}$kg, Dichte$1285 kg/m^3$, Oberflächengravitation$0.92 m/s^2$. Ungefähr so ​​groß wie Merkur, aber nur ein Viertel so schwer.

Kern von Eis X, umgeben von 6013480 Metern Eis VII und 349831 Metern Wasser: Radius 6363312 Meter, Masse$2.44 * 10^{24} kg$, Dichte$2261 kg/m^3$, Oberflächengravitation$4.02 m/s^2$. Etwa so groß wie die Erde, aber nur 40 % der Masse.

Kern von Eis XI, umgeben von 2209965 Metern Eis X, 2675055 Metern Eis VII und 301287 Metern Wasser: Radius 5186308 Meter, Masse$1.85 * 10^{24} kg$, Dichte$3174 kg/m^3$, Oberflächengravitation$4.60 m/s^2$. Ein bisschen kleiner als die Erde und nur ein Drittel der Masse.

Beachten Sie, dass der Planet mit einem Eiskern X größer ist als der Planet mit einem Eiskern XI. Das ist kein Fehler: Eis X ist viel dichter als Eis VII; Der reduzierte Radius erhöht die Schwerkraft auf allen Ebenen und sorgt für höhere Drücke und Dichten.

Zusammenfassung

Es stellt sich heraus, dass sogar relativ massearme Ozeanplaneten in der Lage sind, einige der exotischen Eisarten, die Sie nennen, in ihren Kernen zu bilden. Eis VII scheint sich in den Zentren von Planeten zu bilden$0.015M_{\oplus}$(Erdmassen), während sich Eis X in den Zentren von Planeten bildet$1.256M_{\oplus}$. Interessanterweise unterscheiden sich diese Welten trotz der Zunahme der Masse um zwei Größenordnungen und des Anstiegs des zentralen Drucks um den Faktor 25 nur um den Faktor vier. Es kann zwar eine Temperaturabhängigkeit geben, angesichts der relativen Einfachheit des Phasendiagramms von Wasser bei$\sim300\text{ K}$, ich vermute, dies sollte kein Problem sein, und die relevanten Zustandsgleichungen sind nicht temperaturabhängig.

Theorie

Da wir zwei konkurrierende Antworten ( Dubukays und Marks ) mit sehr unterschiedlichen Ergebnissen haben, dachte ich, ich würde eine dritte Methode hinzufügen, um zu sehen, ob ich etwas Ähnliches finden könnte. Ich ging zu Seager et al. 2008 , meine Lieblingsserie von Modellen des Inneren terrestrischer Exoplaneten. Ihr Aufbau geht davon aus, dass die Körper bei niedrigen Drücken isotherm sind – wie es Dubukay tat – und verwendet Zustandsgleichungen der Form

$$\rho(P)=\rho_0+cP^n\tag{11}$$ wo$\rho$ist Dichte,$P$ist Druck u$c$und$n$sind zusammensetzungsabhängige Konstanten;$n\approx0.5$für die meisten terrestrischen Welten, aber es unterscheidet sich, was wichtig ist. Diese Gleichung ist im Wesentlichen ein modifiziertes Polytrop, wobei die eine große Änderung darin besteht$\rho(0)\neq0$, was in einem klassischen Polytrop zutreffen würde. Für ein reines$\text{H}_2\text{O}$Planet,$n=0.513$und$c=0.00311$. Beachten Sie bei der Verwendung dieser Konstanten, dass der Druck in Pascal und die Dichte in Kilogramm pro Kubikmeter angegeben wird.

Seageret al. leiten Sie die folgende Masse-Radius-Beziehung ab (ich habe die Gleichungen so nummeriert, wie sie in der Arbeit nummeriert sind):

$$M(R)=\frac{4\pi}{3}R^3\left[\rho(P_c)-\frac{2}{5}\pi GR^2\rho_0^2f'(P_c)\right]\tag{31}$$ wo$f(P)=cP^n$und$P_c$ist der zentrale Druck. Das lässt sich über das hydrostatische Gleichgewicht zeigen $$P_c=\frac{3G}{8\pi}\frac{M^2}{R^4}\tag{27}$$ Bei einem gewünschten Mitteldruck kann ich verschiedene Radien und entsprechende Massen testen und die Werte finden, die ich brauche.

Wir können diese Ergebnisse auf andere Weise überprüfen: durch numerische Integration. Die Struktur eines jeden Planeten wird von zwei Schlüsselgleichungen bestimmt:

$$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm\rho}{r^2}$$ $$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho$$ Dies sind die Gleichungen des hydrostatischen Gleichgewichts und der Massenkontinuität.$r$ist eine radiale Koordinate, gemessen vom Zentrum des Planeten, und$m$ist die darin eingeschlossene Masse$r$. Indem wir den Planeten als eine Ansammlung zunehmend größerer Schalen modellieren und den Wert kennen$P$und$m$In jeder gegebenen Shell können wir den Wert von finden$P$und$m$in der nächsten Shell über die Euler-Methode : Ermitteln der Änderung dieser Variablen durch Multiplizieren ihrer Ableitungen an einem Punkt mit einer bestimmten Schrittgröße$\Delta r$. Das ist im Wesentlichen das, was Mark getan hat, denke ich. Ich verwende einfach eine bestimmte Zustandsgleichung anstelle eines Massenmoduls.

Code

Ich habe einen ziemlich einfachen Code in Python 3 geschrieben, um dies zu erreichen. Es erfordert nur NumPy (sowie Matplotlib für Hilfsplots).

import numpy as np

earthMass = 5.97*10**(24) # kg
earthRadius = 6.371*10**(6) # m
G = 6.67*10**(-11) # gravitational constant, SI units

def rho(P,rho0,c,n):
    """Polytropic equation of state"""
    rho = rho0 + c*(P**n)
    return rho

def fprime(P,c,n):
    """Derivative of the first order contribution
    to the polytropic equation of state"""
    fprime = c*n*(P**(n-1))
    return fprime

def mass(R,rho0,c,n):
    """Compute planetary mass for a particular radius,
    given equation of state parameters for a particular
    composition."""
    Rscaled = R*earthRadius # convert to SI units
    Pc = (2*np.pi/3)*G*(Rscaled**2)*(rho0**2) # central pressure
    rho_mean = rho(Pc,rho0,c,n) - (2*np.pi/5)*G*(Rscaled**2)*(rho0**2)*fprime(Pc,c,n) # mean density
    Mscaled = (4*np.pi/3)*(Rscaled**3)*rho_mean
    Mp = Mscaled/earthMass # convert to Earth masses
    return Mp

def pressure(R,rho0,c,n):
    """Compute central pressure if radius is known"""
    M = mass(R,rho0,c,n)
    M = M*earthMass # convert to SI units
    R = R*earthRadius # convert to SI units
    Pc = (3*G/(8*np.pi))*(M**2)/(R**4)
    return Pc

def minimumMass(P,rho0,c,n):
    """Compute mass at which a particular central
    pressure is reached"""
    radii = np.logspace(-1,1,1000) # reasonable radius range
    i = 0
    r = radii[i]
    while pressure(r,rho0,c,n) < P:
        # Brute force check of various radii
        i += 1
        r = radii[i]
    return(mass(r,rho0,c,n))

def radius(M,rho0,c,n):
    """Compute radius which yields a given mass"""
    radii = np.logspace(-1,1,1000)
    i = 0
    r = radii[i]
    while mass(r,rho0,c,n) < M:
        # Brute force check of various radii
        i += 1
        r = radii[i]
    return r

pressureList = [2,50] # central pressures to check, in GPa

for p in pressureList:
    print('Central pressure: '+str(p)+' GPa.')
    print('  The required mass is '\
          +str('%.3f'%minimumMass(p*10**9,1460,0.00311,0.513))+\
          ' Earth masses.')
    print('  The required radius is '+\
          str('%.3f'%radius(minimumMass(p*10**9,1460,0.00311,\
              0.513),1460,0.00311,0.513))+' Earth radii.')

Hier ist mein numerischer Integrationscode. Es wurde speziell für Wasserwelten geschrieben, daher sind die Parameter der Zustandsgleichung keine Funktionsargumente. Wenn Sie möchten, kann es leicht genug für jede Komposition verallgemeinert werden.

import numpy as np

earthMass = 5.97*10**(24) # kg
earthRadius = 6.371*10**(6) # m
G = 6.67*10**(-11) # gravitational constant, SI units

rho0 = 1460
c = 0.00311
n = 0.513

def dP(M,R,P,dR):
    """Compute change in pressure via hydrostatic
    equilibrium"""
    rho = rho0 + c*(P**n) # density
    dP = -((G*M*rho)/(R**2))*dR
    return dP

def dM(R,P,dR):
    """Compute change in mass via mass continuity
    equation"""
    rho = rho0 + c*(P**n) # density
    dM = 4*np.pi*(R**2)*rho*dR
    return dM

def integrator(Pc,dR):
    """Numerically integrate differential equations
    to construct the planet"""
    P = [Pc,Pc]
    M = [0,0]
    R = [0,dR]
    # To avoid singularities at r = 0, I really
    # start the code at one step, r = dR. I assume
    # that this step is small enough that the mass
    # and pressure don't change significantly.

    while P[-1] > 0:
        # The surface of the planet is where P = 0
        m = M[-1]
        r = R[-1]
        p = P[-1]
        deltaR = 1
        deltaP = dP(m,r,p,deltaR)
        deltaM = dM(r,p,deltaR)
        P.append(P[-1]+deltaP)
        M.append(M[-1]+deltaM)
        R.append(R[-1]+deltaR)

    return M, R, P

pressureList = [2,50] # central pressures to check, in GPa

for p in pressureList:
    massList, radiusList, pressureList = integrator(p*(10**9),1)
    M = massList[-1]/earthMass
    R = radiusList[-1]/earthRadius
    print('Central pressure: '+str(p)+' GPa.')
    print('  The required mass is '+str('%.3f'%M)+\
          ' Earth masses.')
    print('  The required radius is '+str('%.3f'%R)+\
          ' Earth radii.')

Ergebnisse

Ich habe einen Mitteldruck von gewählt$P_c=2\text{ GPa}$für Eis VII und$P_c=50\text{ GPa}$für ice X, wie Dubukay und Mark es taten. In beiden Fällen stimmten meine Ergebnisse mit denen von Mark innerhalb einer Größenordnung überein; die Diskrepanz zu Dubukays Zahlen bleibt bestehen:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{} & \text{Ice VII} & \text{Ice X}\\ \hline \text{Dubukay} & M=8.327\times10^{-6}M_{\oplus} & M=0.0149M_{\oplus} \newline & R=0.0313R_{\oplus} & R=0.334R_{\oplus}\\ \hline \text{Mark} & M=0.0149M_{\oplus} & M=0.409M_{\oplus} \newline & R=0.401R_{\oplus} & R=0.998R_{\oplus}\\ \hline \text{Analytical} & M=0.0154M_{\oplus} & M=1.256M_{\oplus} \newline \text{models} & R=0.377R_{\oplus} & R=1.525R_{\oplus}\\ \hline \text{Numerical} & M=0.015M_{\oplus} & M=0.959M_{\oplus} \newline \text{integration} & R=0.372R_{\oplus} & R=1.389R_{\oplus}\\ \hline \end{array}$$

Meine beiden Ice-VII-Modelle stimmen sehr gut mit denen von Mark überein, und meine Ice-X-Modelle weichen nur um einen Faktor von wenigen ab. Die numerische Integration stimmt nicht mit den analytischen Modellen überein, was mich etwas beunruhigt, aber die Diskrepanz ist nicht allzu gravierend, und ich werde ein bisschen herumstochern, um zu sehen, ob ich das Problem finden kann. Ich bin glücklich genug, in der Astronomie in eine Größenordnung zu kommen, also betrachte ich das alles als Sieg. Hier ist ein Diagramm meiner Analyseergebnisse mit den terrestrischen Planeten des Sonnensystems zum Vergleich sowie einer Kurve von Silikatplaneten ($\text{MgSiO}_3$):

Was ist los?

Dies bringt etwas Licht in die unterschiedlichen Antworten, denn ein genauerer Blick auf die Theorie schließt mögliche Gründe für die Diskrepanz aus. Die verwendeten Zustandsgleichungen sind isotherm; Die anderen Antworten gehen davon aus. In ähnlicher Weise weisen einfache Dichtediagramme innerhalb dieser Planeten darauf hin, dass die schwache Abhängigkeit vom Druck tatsächlich Dubukays Annahme der Inkompressibilität rechtfertigt. In beiden Fällen zeigt sich vielleicht eine 10%ige Änderung der Dichte vom inneren Kern zur Oberfläche – kaum genug, um eine Diskrepanz von drei Größenordnungen zu verursachen. Tatsächlich sollten die meisten Welten bei diesen Drücken ziemlich inkompressibel sein.

Ich vermute, dass das Hauptproblem bei Dubukays Antwort die Annahme ist, dass sich die Druck-Tiefen-Beziehung nicht basierend auf der Tiefe ändert - und das tut sie wahrscheinlich. Indem wir die Dichte in jedem Planeten aufzeichnen, können wir sehen, dass sie sich für den Planeten Eis VII nur geringfügig und für den Planeten Eis X etwas mehr ändert:

Jetzt die Gravitationsbeschleunigung$g(r)$in einem Radius$r$Waage als$g\propto\bar{\rho}r$, wo$\bar{\rho}$ist die mittlere Dichte im Inneren$r$. Die Abweichungen von der konstanten Dichte sind für die meisten Regionen auf der Erde gering, also sollten wir damit rechnen$g(r)$ziemlich linear zu sein, und es ist (eher linear für den Planeten Eis VII, der ein gleichmäßigeres Dichteprofil hat):

Daher ist die einfache Tiefen-zu-Druck-Umwandlung weit entfernt von der Oberfläche ungenau. Ich vermute auch, dass das Core-Ocean-Modell etwas zu einfach ist.