Wahrscheinlichkeit, dass mehrdimensionale Zufallsvariable positiv ist?

Wenn wir eine mehrdimensionale normale Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, X ∼ N ( 0 , Σ ) , mit einem Mittelwert von null und einer bekannten Kovarianzmatrix, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass jede Komponente von X ist größer oder gleich null?

P ( ∀ ich . X ich ≥ 0 ) = ?

Wenn X Ist N -dimensional, wo N > 1 , dann macht diese Wahrscheinlichkeit keinen Sinn.
Vermutlich bedeutet es, dass alle Komponenten vorhanden sind ≥ 0 .
Ja, ich meinte alle Komponenten. Hoffentlich klärt meine Bearbeitung auf.
Einige Diskussionen zu orthogonalen Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung finden sich in diesen Büchern: link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-9655-0 , onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0471722065 .

Antworten (1)

Stuart und Ord (1994, Kendall's Advanced Theory of Statistics , Band 1, Abschnitt 15.10) berichten über symbolische Lösungen für die standardisierte bivariate Normal-Orthanten-Wahrscheinlichkeit P ( X > 0 , Y > 0 ) als:

P2 = Sünde − 1 ⁡ ( ρ ) 2 π + 1 4

... während die standardisierte trivariate Normale orthane Wahrscheinlichkeit P ( X > 0 , Y > 0 , Z > 0 ) Ist:

P3 = Sünde − 1 ⁡ ( ρ xy ) + Sünde − 1 ⁡ ( ρ xz ) + Sünde − 1 ⁡ ( ρ ja ) 4 π + 1 8

Ich habe festgestellt, dass diese exakten symbolischen Lösungen nützlich sind, wenn die Genauigkeit multivariater normaler cdf-Funktionen getestet wird (die zur Lösung numerische Integration verwenden ... es sei denn, sie kennen die Sonderfälle :))

Anscheinend ist kein so einfaches Ergebnis für mehr als 3 Dimensionen verfügbar ... aber es gibt Tabellen und einige spezielle Ergebnisse, die auf eine kleinere Anzahl von Integralen reduziert sind ...

Die Ergebnisse für N ≤ 5 sind hier angegeben math.stackexchange.com/questions/869502/… .
Wahrscheinlichkeit, dass mehrdimensionale Zufallsvariable positiv ist?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v