Warum funktionieren Prismen (warum ist die Brechungsfrequenz abhängig)?

Lorentz kam mit einem schönen Modell für die Wechselwirkung von Lichtmaterie, das die Streuung recht effektiv beschreibt. Nehmen wir an, dass ein Elektron um eine Gleichgewichtsposition schwingt und von einem äußeren elektrischen Feld angetrieben wird$\mathbf{E}$(dh Licht), seine Bewegung kann durch die Gleichung beschrieben werden

Wenn wir davon ausgehen, dass das einfallende Licht monochromatisch ist,$\mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{-i\omega t}$und wir gehen von einer ähnlichen Reaktion aus$\xi$, wir bekommen

Es gibt einen anderen möglichen Ansatz dafür, der ein Impulsverfahren verwendet, das davon ausgeht, dass die dielektrische Polarisation durch Faltung gegeben ist

Die einfache Erklärung in Hewitts Conceptual Physics ist, dass Atome in kondensierter Materie eine hochfrequente Resonanz haben und der Brechungsindex für die meisten Substanzen am blauen Ende des Spektrums am stärksten ist, weil dies das hochfrequente Ende ist, das dem am nächsten liegt die Resonanz. Das Folgende ist mein Versuch, dies mit etwas ernsterer Physik zu konkretisieren. Es scheint etwas von der Wahrheit einzufangen, aber in gewisser Weise ist es grob oder falsch.

Kitamura 2007 gibt eine Zusammenfassung experimenteller Daten für Quarzglas über einen breiten Wellenlängenbereich, zusammen mit einer physikalischen Interpretation. Die obige Grafik wurde von Kitamura neu gezeichnet. Was beobachtet wird, ist, dass der komplexe Brechungsindex drei markante Resonanzen mit einer Form hat, die meiner Meinung nach als Lorentzian bezeichnet wird. Bei jeder Resonanz wird der Realteil aus$n$schwingt niedrig und dann hoch, während der Imaginärteil einen Spitzenwert hat, der Absorption anzeigt. Sie ordnen jede dieser Resonanzen einem oder mehreren qualitativ unterschiedlichen physikalischen Phänomenen zu. Das sichtbare Spektrum liegt zwischen Resonanzen bei etwa 0,1$\mu$m und 9$\mu$m. Ersteres wird der „Wechselwirkung mit Elektronen, Absorption durch Verunreinigungen und dem Vorhandensein von OH-Gruppen und Punktdefekten“ zugeschrieben, letzteres der „asymmetrischen Streckschwingung von Si-O-Si-Brücken“.

Obwohl das alles ziemlich kompliziert ist, denke ich, dass es einige ziemlich einfache Physik gibt, die extrahiert werden können.

Im sichtbaren Bereich sieht es so aus, als ob die Abnahme des Brechungsindex mit der Wellenlänge auf eine Kombination zweier Effekte zurückzuführen ist. Dieser Bereich des Diagramms nimmt eine negative Steigung von 0,1 auf$\mu$m-Resonanz auf der linken Seite und auch eine negative Flanke von der 9$\mu$m rechts. Dies ist ein universelles Merkmal jeder Funktion, die durch Addition einer Reihe schmaler Lorentz-Resonanzen gebildet wird: Weit entfernt von Resonanzen hat sie immer eine negative Steigung. Der größere Beitrag zur Steigung scheint von der Resonanz auf der linken Seite zu kommen, was mit Hewitts Erklärung übereinstimmt.

Kitamura erwähnt mehrere Modelle, die die Resonanzen erklären, von denen das einzige, das mir bekannt ist, das Lorentz-Modell genannt wird. Im Lorentz-Modell betrachtet man ein Elektron als einen harmonischen Oszillator, wie eine kleine Masse, die durch eine Feder an einen Kern gebunden ist. Die Verschiebung dieses angetriebenen harmonischen Oszillators (als komplexe Zahl dargestellt, um seine Phase einzubeziehen) ist die Lorentzsche$x=Af(\omega)$, wo$f(\omega)= (\omega^2+i\gamma \omega-\omega_0^2)^{-1}$und$A=(e/m)E$. Wenn die Elektronen diese Schwingung als Reaktion auf eine ebene Welle ausführen, erzeugen sie ihre eigene kohärente ebene Welle. Was tatsächlich beobachtet wird, ist die Überlagerung dieser Welle mit der einfallenden Welle. Diese Überlagerung besteht aus zwei Teilen, einer reflektierten und einer übertragenen Welle. Im Grenzfall eines Mediums mit geringer Dichte (z. B. eines Gases) ist der Brechungsindex gegeben durch$n^2=1-\omega_p^2 f(\omega)$, wo$\omega_p$, Plasmafrequenz genannt, ist gegeben durch$\omega_p^2=Ne^2/m\epsilon_0$, wo$N$ist die Anzahldichte der Elektronen. Die Plasmafrequenz hat eine$e/m$darin von der Amplitude des angesteuerten harmonischen Oszillators und einem weiteren Faktor von$e$weil die Amplitude der zurückgesendeten Welle proportional zur oszillierenden Ladungsmenge ist. Bei Quarzglas denke ich die 0,1$\mu$Die m-Resonanz ist wahrscheinlich das, was durch den obigen Mechanismus beschrieben wird, während die anderen Resonanzen mathematisch ähnlich sind, aber andere Effekte als die Oszillation gebundener Elektronen beinhalten. Beispielsweise würden die Si-O-Si-Brücken aufgrund der größeren Trägheit der Kerne im Vergleich zu Elektronen bei einer niedrigeren Frequenz mitschwingen.

Ein interessantes Merkmal des Diagramms ist, dass es breite Plateaus gibt, und wenn wir die Wellenlänge erhöhen, ist jedes Plateau sukzessive höher als das vorhergehende. Dies wird durch die Lorentz-Theorie erklärt. Im Grenzwert nähert sich die Antwort eines angesteuerten harmonischen Oszillators im Grenzwert Null$\omega\gg\omega_0$, nähert sich aber einer Konstanten (mit umgekehrter Phase) für$\omega\ll\omega_0$. Das Addieren der Beiträge der verschiedenen Resonanzen erzeugt wie beobachtet eine aufsteigende Treppe.

Ist die Frequenzabhängigkeit der Brechung eine grundlegende Eigenschaft aller Wellen?

Das Obige scheint darauf hinzudeuten, dass bei der Wechselwirkung von EM-Wellen mit Materie ein sehr universelles Verhalten vor sich geht.

Ist der Effekt das Ergebnis einer Art Nichtlinearität als Reaktion des Brechungsmaterials auf elektromagnetische Felder?

Nein, ich denke, es ist im Grunde die lineare Reaktion eines angetriebenen harmonischen Oszillators.

Gibt es (theoretisch) irgendwelche Materialien, die einen im Wesentlichen konstanten Brechungsindex ungleich Eins haben (zumindest für das sichtbare Spektrum)?

Ich bin mir sicher, dass dies ein heiliger Gral für Optiker wäre. AFAIK, der beste Weg, die Streuung in echten Geräten zu beseitigen, scheint darin zu bestehen, zwei Materialien zu kombinieren, damit sich die Streuung aufhebt. Quarzglas scheint relativ konstant zu sein$n$, und dies würde daran liegen, dass das sichtbare Spektrum relativ weit von den beiden nahegelegenen Resonanzen entfernt ist. Um weniger Dispersion im sichtbaren Spektrum zu erhalten, würden Sie wahrscheinlich eine Substanz wünschen, in der die Resonanzfrequenz von Glas bei 0,1 liegt$\mu$m wurde höher verschoben.

Kitamura, http://www.seas.ucla.edu/~pilon/Publications/AO2007-1.pdf

Ich werde hier mit der Hand winken und das Problem Photon für Photon betrachten.

Aus dem Doppelspaltexperiment wissen wir, dass auch einzelne Photonen, die auf die Doppelspaltgeometrie auftreffen, ein Interferenzmuster zeigen, das charakteristisch für die Frequenz/Energie des Photons und die Geometrie der Spalte ist.

Man kann sich einen Kristall als eine sehr große Anzahl dreidimensionaler Hindernisse / Schlitze vorstellen (10 ^ 23 Moleküle in einem Maulwurf ergeben selbst für einen 1-Zentimeter-Kristall im Weg Ihrer Illustration eine riesige Anzahl).

Ein Photon, das auf die Oberfläche des Gitters auftrifft, findet nicht zwei Schlitze, sondern eine Tiefe von durchgehenden Schlitzen. Der beobachtete Effekt der unterschiedlichen Winkelverteilung je nach Auftrefffrequenz des Photons muss das Ergebnis der quantenmechanischen Interferenz des Photons sein, die in dem durch seine Frequenz und seinen Brechungsindex gegebenen Brechungswinkel konstruktiv und überall sonst destruktiv sein muss , sonst würden wir Interferenzstreifen sehen (tatsächlich bekommen wir einen zweiten Regenbogen, aber das ist eine andere Geschichte :) , sollte aber ähnlich sein).

Dann reduziert sich das Problem auf die Erklärung der Frequenzabhängigkeit. Ich werde noch einmal mit der Hand winken und sagen, dass die Abstände im Interferenzmuster der Wahrscheinlichkeitswelle umso größer sind, je kleiner die Frequenz ist. das Photon wird die Gitterlücken anders sehen

entsprechend seiner wellenlänge ist, wie beim doppelspaltexperiment , mit einer auffächerung zu rechnen .

Vorausgesetzt, dass das Elektron und die Atomstrahlen auch Brechung aufweisen, scheint dies eine Eigenschaft eines Teilchens zu sein. Geschwindigkeit und Ablenkwinkel hängen von der Masse / Größe des Teilchens für ein bestimmtes Medium ab. Photon verhält sich in diesem Effekt wie ein Teilchen. Die Masse wird durch die de Broglie-Gleichung angegeben :m=hv/c^2 , v=Frequenz