Schwerkraftgebundene Systeme in einem expandierenden Universum

Dies ist noch keine vollständige Frage; Vielmehr suche ich nach einer Frage und Antwort auf gleicher Ebene, die ein gravitativ gebundenes System in einem expandierenden Universum beschreibt. Da es sich um eine Qual-Ebene handelt, ist ein stark vereinfachtes Modell erforderlich, vorzugsweise eines in einem Newtonschen Rahmen (falls dies überhaupt möglich ist), das zumindest den Geist dessen zeigt, was passiert. Wenn es nicht möglich ist und es ein wichtiges Prinzip gibt, das jedes Newtonsche Modell vermissen wird, ist dies wahrscheinlich das erste, worauf Sie hinweisen müssen. Andernfalls, ...

Ich denke an ein Setup, das ungefähr so ​​​​beginnt:

Ein Massekörper$m$umkreist eine andere Masse$M \gg m$(als Ursprung genommen) in einem Radiuskreis$R$(und folglich mit einem Punkt$T = 2 \pi \sqrt{ R^3 / GM }$). Zum Zeitpunkt$t = 0$beginnt sich der Weltraum langsam mit einer konstanten Hubble-Rate auszudehnen$H$(wobei „langsam“ bedeutet$HT \ll 1$, so dass die Ausdehnung in einer Periode gegenüber dem Bahnradius vernachlässigbar ist).

Jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich das Problem formulieren soll. Ich denke da eher an so etwas wie die "Perle auf einer Stange"-Problematik. Dann hat die Perle verallgemeinerte Lagrange-Koordinaten relativ zu einer festen Position an der Stange, aber die Stange dehnt sich gemäß einer externen Funktion aus$a(t)$, a la FLRW-Metrik (Für eine konstante Hubble-Rate,$H = \dot a / a$und so$a(t) = e^{Ht}$). Wir können also den Abstand der Perle vom Ursprung in "mitbewegten Einheiten" die Lagrange-Koordinate nennen$q$. Dann ist der Abstand der Raupe vom Ursprung$d(t) = q(t) a(t)$, was uns eine zeitabhängige Lagrange-Funktion gibt.

Grundsätzlich brauche ich eine 3D-Version davon, die für das beschriebene gravitativ gebundene System funktioniert. Ich hoffe auch, dass das Problem als adiabatischer Prozess gelöst werden kann, was bedeuten könnte, dass die Koordinaten so geändert werden, dass sie um die ursprüngliche Position relativ zum massiveren Körper am Ursprung liegen, anstatt die Koordinaten mitzubewegen.

EDIT 1: Ich werde nicht behaupten, dass ich die Details von Schirmers Arbeit vollständig verstanden habe, aber ich denke, einer der großen Punkte zum Mitnehmen ist, dass die kosmologische Expansion die Stabilität kreisförmiger Umlaufbahnen schädigt und sie zerfallen lässt. Ich habe mein sehr handverlassenes "Newtonsches" Modell eines Sonnensystems in einem expandierenden Universum fertiggestellt, und ich glaube nicht, dass es die Essenz dieses Teils der GR-Lösung einfängt. Das Modell hat mehrere sinnvolle Eigenschaften:

• Es gibt einen Abstand, bei dem gebundene Lösungen unmöglich sind und die beiden Körper sich garantiert voneinander ausdehnen
• Es gibt immer noch eine kreisförmige Umlaufbahn (ich habe nicht überprüft, ob sie stabil ist), deren Radius durch einen Term modifiziert wird, der die Hubble-Konstante enthält.
• Unter Verwendung von Sonnenparametern ist diese Verschiebung völlig vernachlässigbar; es ist größer (wenn auch immer noch klein) im galaktischen Maßstab.

Hier ist das Modell:

Ohne diesen Skalierungsfaktor wäre die Lagrange-Funktion

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{r}$$ Wenn Sie den Skalierungsfaktor hinzufügen, nehmen alle kinetischen Terme einen Faktor auf $e^{2Ht}$und das Potenzial ein Faktor $e^{-Ht}$: $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi^2 \right) e^{2Ht}+ \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ (Ich habe keine Ableitungen des Skalierungsfaktors hinzugefügt; dies würde bedeuten, dass ich nur die Koordinaten geändert und keine extern gesteuerte Raumerweiterung hinzugefügt habe). Da das Problem kugelsymmetrisch ist, bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten und die Bewegung liegt in einer Ebene (die Raumausdehnung ändert daran nichts) an $\theta = \pi/2$. Dies reduziert die effektive Lagrange-Funktion auf $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 \right) e^{2Ht} + \frac{GMm}{r} e^{-Ht}$$ Jetzt ändern wir die Koordinaten in $r = \eta e^{-Ht}$. Dies stellt einen Punkt dar, der in Bezug auf den Ursprung stationär ist (dh der massive Körper, den der kleinere Körper umkreist). Dann $\dot r e^{Ht}= \dot \eta - H \eta$, so wird die Lagrange-Funktion $$\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \left((\dot \eta - H \eta)^2 + \eta^2 \dot \phi^2 \right) + \frac{GMm}{\eta}$$ Dies sieht aus wie ein Lagrange, der durch den Parameter leicht modifiziert wurde $H$. Nach diesen Manipulationen $\phi$ist immer noch eine zyklische Koordinate und ihr konjugierter Impuls $p_\phi = m\eta^2 \dot \phi = L$ist noch konserviert. Der Impuls konjugiert zu $\eta$ist $$p_{\eta} = m (\dot \eta - H \eta)$$ Also die Bewegungsgleichung für $\eta$ist $$m \frac{d}{dt} (\dot \eta - H \eta) = m (\ddot \eta - H \dot \eta) = - mH(\dot \eta - H \eta) + m \eta \dot \phi^2 - \frac{GMm}{\eta^2}$$ Aufheben von Termen und Einsetzen in die Bewegungsgleichung für $\phi$, das wird $$\ddot \eta = H^2 \eta + \frac{L^2}{m^2 \eta^3} - \frac{GM}{\eta^2}$$ Die Raumausdehnung zeigt sich also als Kraftterm proportional zu $\eta$. Für groß $\eta_0$zum Zeitpunkt $t = 0$, es gibt eine Lösung $\eta(t) = \eta_0 e^{Ht}$, wo $\dot \eta = H \eta$stimmt mit dem Gesetz von Hubble überein (die entsprechende mitbewegte Koordinate ist $r(t) = \eta_0$). Es gibt auch eine sehr instabile orbitale Lösung für große $\eta$, wo die Gravitationskraft gerade die kosmologische Expansion ausgleicht. Dieser neue Begriff verschiebt auch leicht die Lage der "stabilen Umlaufbahn" (ich habe nicht überprüft, ob sie in dieser Situation tatsächlich stabil ist). Der Ort der stabilen Kreisbahn, wenn $H = 0$ist $$\eta_0 = \frac{L^2}{GMm^2}$$ Dann lass $$\eta = \eta_0 + \delta \eta = \eta_0 \left( 1 + \frac{\delta \eta}{\eta_0} \right)$$ In niedrigster Ordnung ist die Ortsverschiebung der stabilen Umlaufbahn $$\frac{\delta \eta}{\eta_0} = \frac{H^2}{GM/\eta_0^3 - H^2}$$ Für die Umlaufbahn der Erde um die Sonne wäre diese Verschiebung völlig vernachlässigbar - etwa 15 Uhr. Nimmt man die Masse als die Masse der Milchstraße und den Abstand zur Entfernung der Sonne vom Zentrum, wäre die Verschiebung etwas größer – ein Bruchteil von etwa 2e-7, was mehreren hundert AE entspricht – aber immer noch groß klein.