Welche Auswirkungen hätte die kosmische Expansion auf die Planetenbewegung oder die Keplerbahn? [Duplikat]

Question

Welche Auswirkungen hätte die kosmische Expansion auf die Planetenbewegung oder die Keplerbahn? [Duplikat]

Sami M

Die Frage ist, ob zwei der folgenden Phänomene die Bewegung des Planeten beeinflussen, der einen Stern umkreist:

Der Himmelskörper wird von einem massiven Stern durch die gewöhnliche Newtonsche Schwerkraft gezogen:

M \frac{D^{2} R}{D T^{2}} = - G \frac{M M}{R^{2}}

$m \frac{d^2r}{dt^2} = - G \frac{Mm}{r^2}$

Es gibt eine zusätzliche radiale Geschwindigkeitskomponente

\frac{D R}{D T} = k R, k << 1

$\frac{dr}{dt} = kr\ ,\qquad k << 1$ oder (lineare Näherung):

R (T) = R_{0} (1 + k T), k << 1,

$r(t) = r_0 (1+ kt) , k << 1\ ,$

das zieht den Körper $m$ weg von der Masse $M$ - und das ist unabhängig von der Schwerkraft (das heißt, es passiert auch in der Schwerelosigkeit), was für Lösungen würden diese 2 Regeln für Umlaufbahnen geben und können die Umlaufbahnen in manchen Situationen stationär sein?

Das Newtonsche Gravitationsgesetz nur, wenn die Masse $M \gg m$ , ergäbe sich eine keplersche Umlaufbahn:

R (θ) = \frac{A (1 - e^{2})}{1 + e \cos (θ)}

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}$ das ist Kreis, Ellipse, Hyperbel oder Parabel.

Teilantworten:

A. Zumindest kann das Kreisbewegungsgleichgewicht am Anfang aufrechterhalten werden, indem einfach gefordert wird, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers nicht genau tangential ist, sondern eine kleine radiale Komponente nach innen hat:

v_{ich N ich T ich A l} = v_{T A N} + v_{R},

$v_{initial} = v_{tan} + v_{r}\ ,$ Wo

v_{R} = - k R

$v_{r} = -kr$

Nun würde die Radialkomponente der Anfangsgeschwindigkeit die Radialgeschwindigkeit aufheben $kr$ zum Anfangszeitpunkt. Was würde die bekannte Gleichgewichtsgleichung für Kreisbewegung ergeben:

v^{2} / R = G M / R^{2}

$v^2/r = GM/r^2$

B. Auch wenn der Planet in den Aphelpunkt der Umlaufbahn gebracht wird , wo die Newtonsche Gravitation dann minimal ist und nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz seine Geschwindigkeit senkrecht dazu wäre $r$ und im Minimum sollte die Anfangsgeschwindigkeit leicht nach innen von der Tangentialgeschwindigkeit sein $v$ , wenn dieser Punkt der wahre Aphelpunkt wäre. Ausgehend von dieser Anfangsbedingung ist die erste Vermutung, dass die resultierende Umlaufbahn oder Trajektorie dann irgendwo zwischen dem Aphelkreis liegen sollte $r_{max}$ und Perihelkreis $r_{min}$ -zumindest während des ersten Zyklus.

Die erste Vermutung für die Bahngleichung ist einfach:

R (θ) = \frac{A (1 - e^{2})}{1 + e \cos (θ)} (1 + k T)

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}(1+kt)$ oder

R (θ) = \frac{A (1 - e^{2})}{1 + e \cos (θ)} e^{k T},

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}e^{kt}\ ,$ wenn nichts anderes (z. B. Schwerkraft anderer Planeten, Zerfall der Umlaufbahn usw.) Auswirkungen auf die Bewegung hat.

Der Grund , warum ich diese Frage stelle, ist, dass ich gerne darüber nachdenken würde, was passieren würde, wenn die kosmologische Expansion des Universums sich auf die Himmelsmechanik auswirken würde . Ich habe gelesen, dass dies nicht für wahr gehalten wird, aber die kosmische Expansion wirkt sich nicht auf das Sonnensystem aus . Aber wenn es wahr wäre, würde die kosmische Expansion näherungsweise durch Gleichungen beschrieben:

R = R_{0} (1 + H T)

$r = r_0(1 + Ht)$ das ist lineare Näherung, wenn

t

$t$ ist klein bzw

\frac{D R}{D T} = H R,

$\frac{dr}{dt} = Hr\ ,$ was eine andere Annäherung ist, wenn

t

$t$ klein ist, dessen Lösung eine Exponentialfunktion ist.

Und der Wert für $H$ wäre da $H = 2.20 \times 10^{-18}\, \mathrm{s}^{-1}$ oder $H = 6.93 \times 10^{-11}\, \mathrm{year}^{-1}$ , das heißt einfach die Hubble-Konstante sind die Einheiten [1/s] und [1/Jahr].

Mit diesem Wert für $k$ , zum Beispiel sollte der Erde-Mond-Abstand 384000 km um 2,63 cm/Jahr und der Erde-Sonne-Abstand zunehmen $150\times10^6\, \mathrm{km}$ würde um 10,4 m/Jahr zunehmen, wenn nichts diesen Effekt aufhebt.

Die beobachteten Werte sind 3,8 cm/Jahr (Radarmessungen) und 10,4 cm/Jahr (das ist 100-mal kleiner. Ich weiß nicht, wie der Wert von AU tatsächlich gemessen wird). Es wird angenommen, dass sich das Mond-Erde-System aufgrund von Gezeitenkräften trennt, aber es ist mir unklar, wie viel dieser Effekt wirklich zur Vergrößerung des Erde-Mond-Abstands beiträgt.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/2110/2451 und darin enthaltene Links.

ACuriousMind

Mögliches Duplikat von Würde die metrische Expansion des Weltraums um 1 AE beginnen, wenn das Sonnensystem nicht in einer Galaxie wäre?

R. Rankin

Ich denke, wenn Sie diese Effekte einbeziehen, können Sie auch die durch Gravitationsstrahlung verlorene Orbitalenergie einbeziehen.

Jim

die Beschleunigung der Raumausdehnung wird durch

$\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}$ wo

$\frac{\ddot a}{a}$ ist die Grundrate der Expansionsbeschleunigung. Das

$\rho$ und

$p$ Begriffe sind die Dichte und der Druck der Materie und der andere Begriff ist dunkle Energie. In einem Sonnensystem ist die Materiedichte im Durchschnitt viel größer als im Weltraum, daher dominiert sie. Daher verlangsamt ein Sonnensystem seine Expansion schnell bis zu dem Punkt, an dem die Expansion des Weltraums in einem dichten Gebiet wie einem Sonnensystem oder einer Galaxie in keiner Weise signifikant ist.

Jim

Es steckt noch ein bisschen mehr dahinter, aber dieser grundlegende Punkt bleibt gültig. Die Dichte der Materie in Sonnensystemen usw. verlangsamt die Expansion bis fast zum Stillstand. Wir haben bereits Gleichungen, die die Expansion gut beschreiben, und sie berücksichtigen auch die verschiedenen Arten von Energie im Universum.

Sami M

Danke :) Ich denke, dieser Lambda-Term stammt von Einsteins Feldgleichung und wird als kosmologische Konstante bezeichnet, und diese Konstante ist in beiden Friedmann-Gleichungen vorhanden. Und es hat Unterdruck und eine konstante Dichte. Ist auch folgendes Denken möglich: Ich gehe einfach direkt davon aus, dass die kosmische Expansion alle Entfernungen im durch die Schwerkraft zusammengehaltenen Himmelssystem ausdehnt. Mit anderen Worten, es ist hier keine Kraft , die die Abstände zwischen Himmelskörpern vergrößert, sondern ein Geschwindigkeitsterm (dr/dt) = Hr. wenn r(t) = r_0*exp(kt) oder r(t) = r_0(1+kt) (später ist lineare Näherung)

Antworten (2)

Welche Auswirkungen hätte die kosmische Expansion auf die Planetenbewegung oder die Keplerbahn? [Duplikat]

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/2110/2451 und darin enthaltene Links.
Mögliches Duplikat von Würde die metrische Expansion des Weltraums um 1 AE beginnen, wenn das Sonnensystem nicht in einer Galaxie wäre?
Ich denke, wenn Sie diese Effekte einbeziehen, können Sie auch die durch Gravitationsstrahlung verlorene Orbitalenergie einbeziehen.
die Beschleunigung der Raumausdehnung wird durch $\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}$ wo $\frac{\ddot a}{a}$ ist die Grundrate der Expansionsbeschleunigung. Das $\rho$ und $p$ Begriffe sind die Dichte und der Druck der Materie und der andere Begriff ist dunkle Energie. In einem Sonnensystem ist die Materiedichte im Durchschnitt viel größer als im Weltraum, daher dominiert sie. Daher verlangsamt ein Sonnensystem seine Expansion schnell bis zu dem Punkt, an dem die Expansion des Weltraums in einem dichten Gebiet wie einem Sonnensystem oder einer Galaxie in keiner Weise signifikant ist.
Es steckt noch ein bisschen mehr dahinter, aber dieser grundlegende Punkt bleibt gültig. Die Dichte der Materie in Sonnensystemen usw. verlangsamt die Expansion bis fast zum Stillstand. Wir haben bereits Gleichungen, die die Expansion gut beschreiben, und sie berücksichtigen auch die verschiedenen Arten von Energie im Universum.
Danke :) Ich denke, dieser Lambda-Term stammt von Einsteins Feldgleichung und wird als kosmologische Konstante bezeichnet, und diese Konstante ist in beiden Friedmann-Gleichungen vorhanden. Und es hat Unterdruck und eine konstante Dichte. Ist auch folgendes Denken möglich: Ich gehe einfach direkt davon aus, dass die kosmische Expansion alle Entfernungen im durch die Schwerkraft zusammengehaltenen Himmelssystem ausdehnt. Mit anderen Worten, es ist hier keine Kraft , die die Abstände zwischen Himmelskörpern vergrößert, sondern ein Geschwindigkeitsterm (dr/dt) = Hr. wenn r(t) = r_0*exp(kt) oder r(t) = r_0(1+kt) (später ist lineare Näherung)

Lawrence B. Crowell · Answer 1

Ihre Frage hat einen gewissen Einfluss darauf, was einige Leute fälschlicherweise als Quelle der Pioneer-Anomalie interpretieren. Wie einige Leute betonen, gibt es ein Problem damit, was mit einem Sonnensystem in einer Galaxie passiert. Tatsächlich wird der Einfluss der kosmologischen Konstante höchstwahrscheinlich in dieser Größenordnung statt in einem stellaren Planetensystem auftreten. Ich werde dies einige einrichten und einige Aspekte dieser Frage ansprechen.

Ich werde die stationäre Metrik für die de Sitter-Raumzeit verwenden, die einen zentralen Gravitationskörper enthält

D S^{2} = (1 - \frac{2 M}{R} - \frac{Λ R^{2}}{3}) D T^{2} - \frac{1}{(1 - \frac{2 M}{R} - \frac{Λ R^{2}}{3})} D R^{2} - R^{2} (D θ^{2} + S ich N^{2} θ D ϕ^{2}) .

$ds^2~=~\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)dt^2~-~\frac{1}{\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)}dr^2~-~r^2(d\theta^2~+~sin^2\theta d\phi^2).$ Hier

m = G M / c^{2}

$m~=~GM/c^2$ und der Hubble-Parameter ist

H^{2} = Λ / 3 c^{2}

$H^2~=~\Lambda/3c^2$ Und

Λ ≃ 10^{- 52} m^{- 2}

$\Lambda~\simeq~10^{-52}m^{-2}$ . Nehmen Sie nun die schwache Feldnäherung und setzen Sie die Umlaufbahn in der Ebene mit

θ = π / 2

$\theta~=~\pi/2$

D S^{2} = (1 - \frac{2 M}{R} - \frac{Λ R^{2}}{3}) D T^{2} - D R^{2} - R^{2} D ϕ^{2} .

$ds^2~=~\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)dt^2~-~dr^2~-~r^2d\phi^2.$ Die Umlaufbahn in Koordinatenzeit mit

r d ϕ = v_{ϕ} d t

$rd\phi~=~v_\phi dt$ ist im allgemeinen Lorentz-Gammafaktor enthalten

C^{2} Γ^{- 2} = {(\frac{D S}{D T})}^{2} = C^{2} (1 - \frac{2 G M}{R C^{2}} - \frac{Λ R^{2}}{3}) - v_{R}^{2} - v_{ϕ}^{2},

$c^2\Gamma^{-2}~=~\left(\frac{ds}{dt}\right)^2~=~c^2\left(1~-~\frac{2GM}{rc^2}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)~-~v_r^2~-~v_\phi^2,$ wo alle Konstanten wiederhergestellt werden.

In der speziellen Relativitätstheorie wissen wir, dass die kinetische Energie eines Teilchens gegeben ist durch $K~=~(\gamma~-~1)mc^2$ . Wir betrachten nun die Bewegung eines Masseteilchens $m$ , nicht zu verwechseln mit $m~=~GM/c^2$ um den Hamiltonoperator in dieser schwachen Feldgrenze voranzutreiben

H = \frac{P_{R}^{2}}{2 M} + \frac{P_{ϕ}^{2}}{2 M} - \frac{G M M}{R} - \frac{M C^{2} Λ R^{2}}{6},

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{p_\phi^2}{2m}~-~\frac{GMm}{r}~-~\frac{mc^2\Lambda r^2}{6},$ mit der man nun Dynamiken lösen kann

{\dot{P}}_{R} = - \frac{\partial H}{\partial R} = \frac{1}{2 M} \frac{\partial P_{ϕ}^{2}}{\partial R} - \frac{G M M}{R^{2}} + \frac{M C^{2} Λ R}{3} .

$\dot p_r~=~-\frac{\partial H}{\partial r}~=~\frac{1}{2m}\frac{\partial p_\phi^2}{\partial r}~-~\frac{GMm}{r^2}~+~\frac{mc^2\Lambda r}{3}.$ Für Kreisbewegungen

p_{ϕ} = ω r

$p_\phi~=~\omega r$ und die linke Seite ist Null. Dies stellt die Standardlehrbuchgleichung wieder her, modifiziert mit der harmonischen Oszillatorkraft in der entgegengesetzten Richtung von der Standardversion. Die kosmologische Konstante erzeugt dann eine federartige Kraft, die in Ausdehnungsrichtung zunimmt.

Wenn man dies verfolgen würde, könnten Störungsmethoden geeignet sein. Ganz klar für den Radius $r$ geeignet für ein stellares Planetensystem $r~\sim~10^{10}$ Zu $10^{11}m$ Das $|\frac{GM}{r^2}|~>>~|\frac{c^2\Lambda r}{6}|$ . Der Unterschied liegt bei ca $22$ Größenordnungen, was bedeutet, dass die Rolle der kosmologischen Konstante auf stellaren Planetensystemen vernachlässigbar ist. Wir können dies dann für eine ganze Galaxie betrachten. Hier sind diese beiden Begriffe ziemlich vergleichbar. Wir wissen jedoch, dass Galaxien eine Dynamik haben, die nicht Kepler ist. Dies liegt daran, dass Sterne in einer Galaxie von dunkler Materie umgeben sind. Lassen $\rho~=~M_d/vol$ sei die Dichte dieser dunklen Materie. Das Gaußsche Gesetz gibt uns als Näherungswert eine Kraft aufgrund dieser dunklen Materie

4 π R^{2} F = 4 π G M_{D} = 16 π G ρ R^{3} / 3

$4\pi r^2 F~=~4\pi GM_d~=~16\pi G\rho r^3/3$ diese Kraft hat also eine Größe

F = 4 π G ρ r / 3

$F~=~4\pi G\rho r/3$ . Nun muss man diesen Begriff einbeziehen, der ergibt

H = \frac{P_{R}^{2}}{2 M} + \frac{P_{ϕ}^{2}}{2 M} - \frac{G M M}{R} + \frac{(8 π G ρ - M C^{2} Λ) R^{2}}{6} .

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{p_\phi^2}{2m}~-~\frac{GMm}{r}~+~\frac{(8\pi G\rho~-~mc^2\Lambda)r^2}{6}.$ Dieser Begriff dominiert weitgehend die Dynamik. Tatsächlich ist die Kraft der Dunklen Materie um etwa eine Größenordnung größer. In diesem Fall ist natürlich die Orbitaldynamik von Sternen um Galaxien, außer in unmittelbarer Nähe des zentralen Schwarzen Lochs, überhaupt nicht keplersch.

Vielen Dank für die interessante Antwort. Sie haben mit dieser metrischen Gleichung begonnen, die eine Kombination aus Schwarzschild-Metrik + kosmologischer Konstante zu sein scheint. Aber was ist, wenn ich mit der folgenden Metrik beginne: $ds^2 = e^{2kt} * ds_{n}^2$ oder $ds^2 = (1 +2kt)ds_{n}^2$ , Wo $ds_{n}^2$ ist das Quadrat des Linienelements in Metrik, das Sie oben angegeben haben - oder Metrik ohne diesen Lambda-Term -, und k liegt irgendwo in der Nähe $2.2*10^-18[1/s]$ das ist die Hubble-Konstante? Ich nehme dort nur ad hoc eine andere Metrik an.
Oder im flachen Raum folgend, könnte die Metrik im kosmologischen Maßstab sein $ds^2 = c^2dt^2 - e^{2kt} a^2(t)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ , wobei a(t) ein gewöhnlicher Skalierungsfaktor ist, der aus der 1. Friedmann-Gleichung stammt. Ich schreibe dies hier nur um sicherzugehen, welche Art von Modifikationen ich meine.
Ich habe hier auch den flachen leeren Raum ohne Änderung der Lambda-Metrikgleichung (minimale Menge an Materie und Strahlung, keine kosmologische Konstante) eingefügt: $ds^2 = c^2dt^2 - e^{2kt}(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ aber dies ist dasselbe wie die Metrik des Lambda-Only-Universums. Ich denke durch diese Modifikation **dass sich der Raum einfach ad hoc unabhängig von der Schwerkraft** um einen Faktor ausdehnt $e^{kt}$ oder $(1 +kt)$ und dieser Faktor wird entweder nur in dr^2 oder sowohl in dr^2- als auch in dt^2-Termen auf der rechten Seite hinzugefügt. (muss ich prüfen was richtig ist)
Dazu habe ich einen zweiten Teil gepostet. Ich habe noch einige weitere Analysen durchgeführt, die noch nicht vollständig sind, aber der Veranschaulichung dienen. Es gibt Grund zu der Annahme, dass es über Milliarden von Jahren hinweg eine merkliche Wanderung von Planetenbahnen gibt, die eine gewisse Exzentrizität aufweisen.
Ich habe hier noch ein 'metrisches Monster': $ds^2 = e^{2k(1-\sqrt{1-\frac{r_s}{r}})(t-t_0)}[ (1-\frac{r_s}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_s}{r})^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2)]$ Dies ist eine modifizierte Schwarchild-Metrik, die sich entsprechend der Eigenzeit ändert. Ich zeige nur, über welche Art von Metriken ich spreche.

Lawrence B. Crowell · Answer 2

Um dies als Nachtrag fortzusetzen, habe ich mit etwas davon herumgespielt. Es ist klar, dass für eine kreisförmige Umlaufbahn die kosmologische Konstante den Radius nur geringfügig anpasst. Der Radius der Umlaufbahn ändert sich mit der Zeit nicht. Bei einer elliptischen Umlaufbahn kann dies über einen sehr langen Zeitraum anders sein. Ich werde mit dieser dynamischen Gleichung fortfahren, modifiziert durch $mc^2\Lambda r^2/6$ Potenzial. Ich schreibe den Hamiltonian um als

H = \frac{P_{R}^{2}}{2 M} + \frac{L^{2}}{2 M R^{2}} - \frac{G M M}{R} + \frac{M C^{2} Λ R^{2}}{6} .

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{L^2}{2mr^2}~-~\frac{GMm}{r}~+~\frac{mc^2\Lambda r^2}{6}.$ Wir interessieren uns für die Radialdynamik und die Hamilton-Gleichung

\frac{D P_{R}}{D T} = - \frac{\partial H}{\partial R} = \frac{L^{2}}{M R^{3}} \frac{\partial P_{ϕ}^{2}}{\partial R} - \frac{G M M}{R^{2}} + \frac{M C^{2} Λ R}{3} .

$\frac{dp_r}{dt}~=~-\frac{\partial H}{\partial r}~=~\frac{L^2}{mr^3}\frac{\partial p_\phi^2}{\partial r}~-~\frac{GMm}{r^2}~+~\frac{mc^2\Lambda r}{3}.$ Wir ändern Variablen mit

u = 1 / r

$u~=~1/r$ und ersetzen

d t = d ϕ / ω

$dt~=~d\phi/\omega$

ω = L / m r^{2}

$\omega~=~L/mr^2$ so dass diese Differentialgleichung ist

\frac{D^{2} u}{D ϕ^{2}} + u + \frac{λ}{3 ℓ^{2} u^{3}} = \frac{M}{ℓ^{2}},

$\frac{d^2u}{d\phi^2}~+~u~+~\frac{\lambda}{3\ell^2 u^3}~=~\frac{m}{\ell^2},$ Und

ℓ

$\ell$ Drehimpuls pro Masse. Diese Gleichung ist eine gestörte Form der Standardgleichung für die Keplersche Dynamik mit

u (t) = c_{1} \sin ϕ + c_{2} \cos ϕ + C

$u(t)~=~c_1~\sin\phi~+~c_2~\cos\phi~+~C$ .

Wir behandeln die Störung $\frac{\lambda}{3\ell^2 u^3}$ durch die Nutzung

u = \frac{M}{ℓ^{2}} (1 + e \cos ϕ), M = G M / C^{2} .

$u~=~\frac{m}{\ell^2}(1~+~e~\cos\phi),~m~=~GM/c^2.$ Für kleine Exzentrizität haben wir

u^{- 3} ≃ \frac{m}{ℓ^{2}} (1 + 3 e \cos ϕ))

$u^{-3}~\simeq~\frac{m}{\ell^2}(1~+~3e~\cos\phi))$ und Sonderlösungen verwendet werden

ϕ \sin ϕ

$\phi\sin\phi$ um die Lösung zu finden

u (T) ≃ \frac{M}{ℓ^{2}} (1 + e \cos ϕ + 3 λ ℓ^{3} e ϕ Sünde ϕ) = \frac{M}{ℓ^{2}} (1 + e \cos (1 - 3 λ ℓ^{3} ϕ))

$u(t)~\simeq~\frac{m}{\ell^2}\left(1~+~e~\cos\phi~+~{3\lambda}{\ell^3}e\phi~\sin\phi\right)~=~\frac{m}{\ell^2}\left(1~+~e~\cos\left(1~-~{3\lambda}{\ell^3}\phi\right)\right)$ Dies erzeugt eine Präzession in der Größenordnung von

10^{- 10}

$10^{-10}$ mal die Präzession der Merkurbahn. Die nächste Bestellfrist bis

e^{2}

$e^2$ wird sein

\sim \frac{3 λ}{ℓ^{3}} e^{2} ϕ^{2} \sin^{2} ϕ

$\sim~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2\phi^2~\sin^2\phi$ Dies erzeugt eine Änderung des Orbitalradius gegenüber dem Anfangsradius

R

$R$

\frac{\bar{δ} R (T)}{R} \sim \frac{3 λ}{ℓ^{3}} e^{2} ϕ^{2} ≃ \frac{3 λ}{ℓ^{3}} e^{2} T^{2} .

$\frac{\overline\delta r(t)}{R}~\sim~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2\phi^2~\simeq~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2t^2.$ Für eine Umlaufbahn vergleichbar mit der Erde

\frac{\bar{δ} r (t)}{R} \sim 10^{- 33}

$\frac{\overline\delta r(t)}{R}~\sim~10^{-33}$ Zu

10^{- 34} s^{- 2} \times t^{2}

$10^{-34}s^{-2}\times t^2$ . Ein Zeitraum von einer Milliarde Jahren ändert den Radius um den Faktor

10^{- 2}

$10^{-2}$ Zu

10^{- 1}

$10^{-1}$ , oder für die Erde ungefähr

0.01 A U

$0.01\,\mathrm{AU}$ Zu

0.1 A U

$0.1\,\mathrm{AU}$ . Dies impliziert, dass die Erde seit ihrer Entstehung nach außen gewandert ist. Unten ist eine Grafik dieses Prozesses, die stark übertrieben ist.

Dies ist ein interessantes Thema. Die frühe Sonne, als das Leben auf der Erde entstand, war nur $0.75$ so leuchtend wie heute. Damit hätte die Erde etwa so viel Sonnenstrahlung abbekommen wie heute der Mars. Die durchschnittliche Temperatur auf der Erde wäre etwa gewesen $-100^\circ \mathrm{C}$ und sogar mit einem dickeren $CO_2$ Atmosphäre hätte dies die Erde immer noch als einen sehr gefrorenen Ort zurückgelassen. Wenn die Erde jedoch bei wäre $0.85\,\mathrm{AU}$ früh auf der Erde wäre in der Nähe erhalten $80\%$ der aktuellen Sonneneinstrahlung, die mit $CO_2$ Wärmefallen hätten die frühe Erde davon abgehalten, eine Eiskugel zu sein.

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