RC-Schaltung mit verlustbehaftetem Kondensator

Diese Schaltung

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

kann als RC-Reihenschaltung mit einem verlustbehafteten Kondensator betrachtet werden. Der Zeitausdruck für$V_C(t)$mit$R_2 \to \infty$ist hier verfügbar und es ist$V_C(t) = V_0 (1 - e^{-t/\tau})$.

Ich möchte den gleichen Ausdruck erhalten, aber in dieser Situation.

$V_0$ist der Gleichspannungsgenerator; der Schalter ist geschlossen für$t \geq 0$Und$V_C (t = 0) = 0$(Kondensator zunächst entladen).

ich kann schreiben

$$\frac{V_0 - V_C (t)}{R_1} = I(t)$$

$$\frac{V_0}{R_1} - \frac{1}{R_1 C} \frac{dQ(t)}{dt} = I(t)$$

das ist der Strom über$R_1$und so die Gesamtstromeingabe$C // R_2$.$V_C (t)$ist während der Kondensatorladung variabel. Tatsache ist, dass hier$I(t)$ist nicht einfach$dQ(t) / dt$, weil nicht alle Gebühren austreten$R_1$geht durch den Kondensator: ein Teil davon fließt über$R_2$und diese Menge an "ausgetretener" Ladung ändert (steigt) mit der Zeit. Wie kann dem also Rechnung getragen werden?

Gibt es Hinweise, um eine Differentialgleichung für die Ladung oder den Strom des Kondensators zu erhalten ?