Wie langsam würde sich die Erde drehen, wenn der Mond und die Erde voraussichtlich in eine Gezeitensperre geraten?

Der letzte Teil der Antwort, auf die Sie verlinkt haben, besagt tatsächlich (ganz am Ende), dass die Gezeitensperre niemals erreicht wird, mit einer ähnlichen Begründung wie in dieser Antwort .

Obwohl der Mond und die Erde niemals tatsächlich eine Gezeitensynchronisation erreichen werden, können wir dennoch das Gedankenexperiment durchführen und fragen: „Wenn das aktuelle Erde-Mond-System genügend Zeit hätte, um eine Gezeitensynchronisation zu erreichen, wie lange würde es dauern der Tag, an dem die Rotation der Erde und die Umlaufbahn des Mondes synchronisiert werden würden?"

Dazu können wir annehmen, dass sich der Mond aufgrund eines Drehimpulsaustauschs zwischen der Erdrotation und der Mondbahn spiralförmig nach außen dreht. Die Drehung der Erde verlangsamt sich, wenn sie an Drehimpuls verliert, und der Mond bewegt sich in eine größere (und damit höhere Drehimpuls) Umlaufbahn, wenn er denselben Drehimpuls gewinnt. Die Rotation des Mondes würde vermutlich an die Umlaufzeit des Mondes gebunden bleiben, also würde er sich auch verlangsamen.

Also verwenden$L$Um den Drehimpuls darzustellen, lautet die Schlüsselgleichung

$$L_{\rm now} = L_{\rm then}$$

wobei "dann" eine Zeit in der Zukunft ist, wenn die Sperre erreicht wird. Der Gesamtdrehimpuls im System ist konstant.

Der Drehimpuls eines Objekts ist$L = I\omega$, Wo$I$ist das Trägheitsmoment, und$\omega = \frac{2\pi}{P}$ist die Umlaufzeit, bezogen auf die Umlaufzeit$P$. Für eine Massekugel mit konstanter Dichte$M$und Radius$R$dreht sich um seine Achse,$I = 0.4 M R^2$. Die Erde und der Mond sind etwas zentraler verdichtet, daher sind ihre (Rotations-) Trägheitsmomente etwas kleiner als die 0,4 für eine gleichförmige Kugel. Der führende Koeffizient beträgt 0,33 für die Erde und 0,39 für den Mond .

Für den Mond, der die Erde umkreist, ist es eine gute Annäherung, ihn einfach als Punktmasse zu behandeln (da seine Größe im Vergleich zu seiner Entfernung von der Erde klein ist), also hat er es$I = M_{\rm Moon}R_{\rm Earth-Moon}^2$.

Wenn wir alle drei dieser Bewegungen (Erdrotation, Mondumlaufbahn, Mondrotation) zusammenfügen, erhalten wir

$$L_{\rm now} = 2\pi \left( \frac{0.33 M_\oplus R_\oplus^2}{P_\oplus} + \frac{0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2}{P_{\rm Moon}} + \frac{M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon}^2}{P_{\rm Moon}} \right)$$

Alle Werte dort stellen aktuelle, bekannte Werte dar, dh$P_\oplus = 1$Tag und$P_{\rm Moon} = 1$Monat = 27,3 Tage. In ähnlicher Weise hätten wir irgendwann in der (hypothetischen) Zukunft

$$L_{\rm then} = 2\pi \left( \frac{0.33 M_\oplus R_\oplus^2}{P_{\rm then}} + \frac{0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2}{P_{\rm then}} + \frac{M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2}{P_{\rm then}} \right)$$

oder

$$L_{\rm then} = \frac{2\pi}{P_{\rm then}} \left(0.33 M_\oplus R_\oplus^2 + 0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2 + M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2 \right)$$

Beachten Sie, dass es hier nur einen einzigen Punkt gibt, da jetzt davon ausgegangen wird, dass alles synchronisiert ist. Wir könnten dies also gleich setzen$L_{\rm now}$und löse nach$P_{\rm then}$– außer dass wir eine zweite Unbekannte in der Gleichung haben,$R_{\rm Earth-Moon,\ then}$, die neue Bahnentfernung des Mondes von der Erde. Glücklicherweise können wir Keplers drittes Gesetz verwenden , um diese Entfernung mit der Umlaufzeit in Beziehung zu setzen:

$$P_{\rm then}^2 (M_\oplus + M_{\rm Moon} ) = \frac{4 \pi^2 }{G} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^3$$

Um das Leben beim Einsetzen in die Gleichung ein wenig einfacher zu machen, könnten wir dies als Verhältnis zu den aktuellen Werten schreiben, wodurch sich einige der Konstanten aufheben:

$$\frac{P_{\rm then}^2}{P_{\rm Moon}^2} = \frac{R_{\rm Earth-Moon,\ then}^3}{R_{\rm Earth-Moon}^3}$$

was bedeutet, dass

$$R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2 = R_{\rm Earth-Moon}^2 \left(\frac{P_{\rm then}}{P_{\rm Moon}}\right)^{4/3}$$

Ersetzen Sie das in unseren Ausdruck für$I_{\rm then}$, landen wir schließlich bei

$$L_{\rm then} = \frac{2\pi}{P_{\rm then}} \left(0.33 M_\oplus R_\oplus^2 + 0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2 + M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon}^2 \left(\frac{P_{\rm then}}{P_{\rm Moon}}\right)^{4/3} \right)$$

Also im Prinzip sind wir fertig - wir setzen dies gleich um$L_{\rm now}$und löse nach$P_{\rm then}$. Es ist keine einfache Gleichung, die analytisch zu lösen ist, aber nicht schwer numerisch zu lösen.

Symbolisch passiert viel, aber wir kennen die meisten dieser Werte, also wenn wir Zahlen für alles, was wir wissen, einsetzen und vereinfachen, wird dies

$$P_{\rm then} = 0.16809413\ {\mathrm d} + 0.27626727\ {\mathrm d}^{-1/3} P_{\rm then}^{4/3}$$

wobei das "d" Einheiten von Tagen darstellt. Das Lösen dieser Gleichung ergibt einen Zeitraum von 46,9 Tagen, so lang wären also der Tag, der Monat (dh die Umlaufzeit des Mondes) und die Rotationsperiode des Mondes, wenn alle durch die Gezeiten miteinander verbunden wären.

Wenn Sie die in Python durchgeführte Berechnung sehen möchten, habe ich den Code hier in einer Zusammenfassung gepostet . Es ist ein schönes Beispiel für die Nützlichkeit der Größen von Python und der Konstanten der Astropie.

Der größte Teil der Antwort wurde oben wunderbar von Eric Jensen geschrieben. Ich werde nur noch einen letzten Schliff hinzufügen. Wie von Eric demonstriert, wird die Synchronisation erreicht, wenn die Umlaufzeit des Mondes erreicht ist$P_{then} = 46.9$Tage. Implizieren das$R$steht für die große Halbachse, wir nehmen zur Abschätzung,$R_{Moon} = 3.84\times 10^8$M. Auch,$P_{Moon} = 27.3$Tage. Das Einfügen dieser Zahlen in das Kepler-Gesetz ergibt

$$R_{then} = R_{Moon}\,\left(\frac{P_{then}}{P_{Moon}} \right)^{2/3} = 5.72\times 10^8\;\mbox{m}\;\,.$$ Dieser Wert muss innerhalb der Erdhügelsphäre liegen, dh in dem Bereich, in dem der Mond von der Erde stärker angezogen wird als von der Sonne, damit er nicht wegfliegt.

Naiverweise ist der Radius der Hügelkugel der Erde

$$r_H = a_E \,(1-e_E) \,\left(\frac{M_E}{3M_\ast} \right)^{1/3} = 1.47\times 10^9\;\mbox{m}\;\,,$$ Wo$a_E$Und$e_E$sind die große Halbachse der Erde und Exzentrizität, während$M_E$Und$M_\ast$sind die Masse der Erde und der Sonne.

Eine numerische Studie von Astakhov et al. (2003) und Domingos et al. (2006) demonstrierten, dass sich die Umlaufbahnen zu nahe kommen$r_H$sind langfristig instabil, während diejenigen, die auf eine kleinere Region beschränkt sind (die wir die „reduzierte Hügelsphäre“ nennen können), stabil bleiben. Der Radius der reduzierten Hill-Sphäre (nennen Sie es den reduzierten Hill-Radius) für eine kreisförmige (e = 0) Mondumlaufbahn ist

$$r^{\,\prime}_H = B\, a_E\, (1 - b\, e_E)\,\left(\frac{M_E}{3M_\ast} \right)^{1/3} \;\,.$$ Für fortschreitende Monde,$B=0.49$Und$b = 1.03$, woher
$$R^{\,\prime}_H = 7.09\times 10^8\;\mbox{m}\;\,.$$ Wir sehen, dass die Entfernung$R_{then}=5.72\times 10^8$m wird kaum in die reduzierte Hill-Sphäre passen. Wie auch immer, durch reines Glück wird die synchrone Konfiguration stabil sein.