Abhängigkeit der Multipolmomente vom Ursprung

Betrachten Sie zunächst die Ausdehnung des elektrostatischen Potentials$\Phi$in einer stationären Situation

$$\Phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} + \mathcal{O}(r^{-3})$$ Verschieben wir nun unseren Ursprung um $\vec{a}, \vec{R} = \vec{r} - \vec{a}$, Wo $|\vec{a}| \ll r$. Der Monopolbegriff wird dann erweitert als $$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 |\vec{R} + \vec{a}|} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} - \frac{Q(\vec{a}\cdot \vec{R})}{4 \pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Der Dipolterm ist einfach $$\frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} = \frac{\vec{d}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Werfen wir nun einen Blick auf das gesamte Potenzial $$\Phi(\vec{r}) = \Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{(\vec{d}-Q\vec{a})\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Beachten Sie, dass dies (innerhalb der Annäherung) nur eine andere Beschreibung des gleichen Potentials wie oben ist. Mit anderen Worten, wenn Sie denselben physikalischen Punkt betrachten, erhalten Sie denselben Wert von $\Phi$unabhängig davon, ob Sie in der sind $\vec{r}$Koordinaten oder die $\vec{R}$Koordinaten.

Lassen Sie uns nun den in Bezug auf definierten Dipol bezeichnen$\vec{R}$als$\vec{D}$und berechnen

$$\vec{D} = \int \rho \vec{R} d V = \int \rho \vec{r} d V - \int \rho \vec{a} d V = \vec{d} - Q\vec{a}$$ Wir sehen dann, dass unser verschobenes Potenzial hereinkommt $\vec{R}$Koordinaten können geschrieben werden als $$\Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{\vec{D}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Das ist genau die Multipolerweiterung, die Sie erhalten würden, wenn Sie mit dem beginnen würden $\vec{R}$Koordinaten an erster Stelle.

Dh Multipolentwicklungen sind kovariant in Bezug auf Koordinatenverschiebungen. Man kann zeigen, dass dies für alle Ordnungen gilt, indem immer mehr Terme von niedrigeren zu höheren Ordnungen heruntersickern, und man kann sogar die Kovarianz der Multipolentwicklung in Bezug auf die gesamte Poincaré-Gruppe (mit kleinen Übersetzungen) zeigen.

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Sie fragen sich jetzt wahrscheinlich, was dann mit Ihrer Strahlungsformel passiert. Der Trick besteht darin, dass die von Ihnen angegebenen Formeln nur in Inertialsystemen gelten . Insbesondere,$\vec{a}$wird typischerweise eine konstante Verschiebung sein. Ihre Strahlungsformel gilt jedoch für Schwingungsgrößen, für die eine Konstante gilt$\vec{a}$wird subführende oder völlig verschwindende Beiträge haben.

Betrachten Sie das Dipolmoment. Wir haben$\vec{D} = \vec{d} - Q\vec{a}$. Dann sieht man das da$\dot{Q} = \dot{a} = 0$, wir haben$\dot{D} = \dot{d}$und es entsteht kein zusätzlicher Term in der Strahlungsformel aus der Verschiebung.

Was das magnetische Moment des Dipols betrifft, so haben wir

$$\vec{\mu}' = \vec{\mu} + \frac{1}{c}\vec{a} \times \int \vec{j}\, dV$$ Es ist ein etwas komplizierteres Argument, warum der zusätzliche Begriff ein Vorspann sein wird.

Lassen Sie uns zunächst unter Verwendung des Divergenzsatzes als Doppelintegral umschreiben

$$\int j_i (\vec{R}) \, dV(\vec{R}) = \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{x_i=const.} \! \!\!\! \vec{j} \cdot d \vec{S} \right) d x_i = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^{x_i =const.} \! \! \! \nabla \cdot \vec{j}(\vec{R}') d V(\vec{R}') \right) d x_i$$ Dh, wir nutzen die Tatsache, dass das Integral von $j_i$über eine Fläche konstant $x_i$kann auch als Divergenz in einem Volumen geschrieben werden, das durch begrenzt wird $x_i = const.$(vorausgesetzt natürlich, dass Ströme außerhalb des Körpers verschwinden, sodass die Beiträge von den anderen Grenzen gerade Null sind). Wenden wir nun die Kontinuitätsgleichung an $\nabla \cdot \vec{j} = - \partial \rho/\partial t$endlich zum Ausdruck bringen $$\vec{\mu}' = \frac{1}{c}\int \vec{R} \times \vec{j} dV = \frac{1}{c}\int \vec{r} \times \vec{j} dV - \frac{1}{c}\vec{a} \times \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{\vec{x}} \! \frac{\partial \rho} {\partial t} d V \right) d \vec{x}$$ (Wenn Sie sich nicht sicher sind, was das Vektorprodukt bedeutet, schreiben Sie einfach die Ausdrücke mit dem Levi-Civita-Symbol und den Komponenten auf.) Nehmen wir nun an, dass dies der Fall ist $\rho = \rho_0 + \rho_{osc} e^{i\omega t}$Und $\vec{j} = \vec{j}_{0} + \vec{j}_{osc} e^{i\omega t}$, Wo $\rho_0, \rho_{osc},\vec{j}_0 ,\vec{j}_{osc}$sind nur Funktionen der Position. Dann sehen wir das $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} - \frac{\omega}{c}\vec{a}\times \vec{\Delta}$$ Wo $\vec{\mu}_{osc} = \int \vec{j}_{osc} \times \vec{r} dV$, Und $\vec{\Delta} = \int (\int^\vec{x} \rho_{osc} dV) d\vec{x}$. Seit $\vec{d}_{osc} = \int \rho_{osc} \vec{r} dV$, wir werden haben $\vec{\Delta} \sim \vec{d}$und wir können endlich schreiben $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} + \mathcal{O}( \frac{\omega}{c} a \,d_{osc} )$$ Dh die Verschiebung bewirkt nur eine voreilende Korrektur.

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Der Kern des Arguments ist, dass, wenn Sie einen Körper haben, aus dem keine Ströme austreten, dann ein Wert ungleich Null ist$\int \vec{j} dV$entspricht Änderungen der Ladungsdichte irgendwo im Körper ($\partial \rho/\partial t \neq 0$). Bei einer stationären Schwingung entspricht dies jedoch einer Laufzeit einer höheren$\omega$Macht im Vergleich zu$\mu$Schwingung.

Der Grund ist folgender: Strom hat die Dimensionen$[Charge \cdot distance / time]$, wird die Ladungsskala durch die Gesamtladung im Körper, die Entfernung durch die Größe des Körpers und die Zeit durch 1) die Durchgangszeit des geladenen Teilchens im Körper und 2) die Schwingungszeit der Ladungen bestimmt. Der Begriff$\int \vec{r} \times \vec{j} dV$fängt diesen „Querstrom“ auf, dessen Größe nicht abhängig ist$\omega$, aber der Begriff$\vec{a} \times \int \vec{j} dV$erfasst nur die$\omega$-proportionaler Schwingstrom.