Warum ist Dipol die einfachste Quelle in der Elektrodynamik?

Die kleinste strahlende Einheit ist ein beschleunigendes Dipolmoment . Das kann natürlich durch eine beschleunigte Einzelladung erzeugt werden, die einem schwingenden Dipol gleichgesetzt werden kann.

$$\ddot{p} = q\ddot{r},$$ wo $r$ist eine Verschiebung der Ladung um einen Bezugspunkt.

Sie erhalten kein Strahlungsfeld, es sei denn, das geladene Teilchen wird beschleunigt, und aus diesem Grund muss die Strahlungs-"Quelle" eine endliche Größe haben. Für eine sinusförmige Schwingung der Beschleunigungsamplitude${a_0}$, wo$\ddot{r}= a_0\sin \omega t$, dann ist diese Größe$a_0/\omega^2$.

Sie haben Recht, dass in der Elektrodynamik die einzigen wirklichen Strahlungsquellen ungleichförmig bewegte Ladungen sind. Wenn Sie jedoch nach den Potentialen auflösen, erhalten Sie einige komplizierte Ausdrücke, die sogenannten Liénard-Wiechert-Potentiale , für die die Felder sehr komplizierte Ausdrücke werden, wenn sie daraus berechnet werden. Darüber hinaus wird die Zerlegung eines beliebigen Systems mit gegebener Ladung und Stromdichte in verschiedene bewegliche Punktladungen noch komplizierter. Die Schwierigkeiten, die sich daraus ergeben, bestehen darin, das Vektorpotential an einem Punkt zu berechnen$r$und zur zeit$t$, müssen Sie über die spezifischen verzögerten Positionen von Quellen zu allen vergangenen Zeiten integrieren. Es reicht also nicht aus, zB die Positionen und Geschwindigkeiten der Ladungen zum aktuellen Zeitpunkt zu kennen (wie es in der klassischen Mechanik ausreichend ist). Im Wesentlichen berücksichtigt dieses Verfahren alle Quellen, die sich auf der (vergangenen Zeithälfte des) Lichtkegels befinden.

Trotzdem könnte man damit anfangen. Wir folgen hier im Wesentlichen der Diskussion von JD Jackson, Classical Electrodynamics [Kapitel 9 in der 3. Auflage].

Das verzögerte Vektorpotential lautet (wobei fast alle Konstanten weggelassen werden)

$$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\mathbf j(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c),$$ bei dem die $\delta$-Funktion sorgt für die erwähnte Integration entlang des Lichtkegels, wobei die Wahl der Vorzeichen im Argument die Kausalität der Lösung sicherstellt.

Für gegebene Strom- und Ladungsverteilungen kann man dann prinzipiell die Felder berechnen. Nun geht man davon aus, dass die Quellen eine gewisse Zeitabhängigkeit haben (z$\mathrm e^{-\mathrm i \omega t}$) und dass sie auf einen kleinen Bereich im Weltraum beschränkt sind. Klein bedeutet hier, dass man einer Wellenlänge zuordnen kann$\lambda$zur Zeitabhängigkeit,$\lambda =2 \pi c /\omega$, und dass die Quelldimensionen$d$sind viel kleiner als diese Wellenlänge,$d \ll \lambda$.

Dies führt zu drei unterschiedlichen räumlichen Regionen:

1. Nahfeldzone:$d \ll r \ll \lambda$,
2. Zwischenzone:$d \ll \lambda \approx r$,
3. Fernfeldzone:$d \ll \lambda \ll r$.

Es zeigt sich, dass die Felder in den drei Regionen unterschiedliche Eigenschaften haben. Von Interesse für die Frage hier ist nur das letzte Regime, bei dem die Dimensionen der Quelle vernachlässigt werden können (vorausgesetzt, man kümmert sich nicht um eine Genauigkeit, die die Auswirkungen des Feldes an einem Punkt unterscheiden würde$\mathbf r$und ein Punkt, der sich in einem Abstand befindet, der kleiner als ist$d$in der Nähe von$\mathbf r$; das ist die vermutung$d \ll \lambda$ist für).

Wir können dann eine oszillierende bewegliche Punktladung annähern, die durch eine Stromdichte beschrieben werden soll, die sich an einem einzelnen Punkt befindet$\mathbf r_0$mit harmonischer Zeitabhängigkeit, in der Form

$$\mathbf j (\mathbf r,t) = \mathbf j (\mathbf r) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} = \mathbf j_0 \delta(\mathbf{r-r_0}) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} .$$ Die Tatsache, dass die Stromdichte einer Punktladung als a geschrieben werden kann $\delta$-Funktion ist nicht wichtig, wir könnten auch etwas längeren Strom einbrechen $\mathbf j(\mathbf r)$solange sie nach den obigen Überlegungen ausreichend klein ist. Das Vektorpotential wird dann bei Auswertung der $t$Integration und die $\delta$-Funktion, $$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \frac{\mathbf j(\mathbf r')}{|\mathbf{r-r'}|} \mathrm e^{\mathrm i k |\mathbf{r-r'}|} e^{-\mathrm i \omega t},$$ mit $k=\omega/c$.

Eine zweite Näherung ist die Erweiterung des Abstandsvektors im Exponential um

$$|\mathbf{r-r'}| \approx r + \mathbf n \cdot \mathbf r' ,$$ während für den inversen Abstand in Potenzen von $1/r$(übliche Multipolerweiterung), $$\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} = \frac{1}{r} + \frac{\mathbf r \cdot \mathbf r'}{r^3} + \dotsb,$$ wir halten nur die niedrigste Ordnung. Es mag seltsam klingen, unterschiedliche Reihenfolgen im Exponenten und im Nenner beizubehalten; im Exponenten haben wir die Phaseninformationen, die eine Variation in der Größenordnung von haben $\lambda$, während die Näherung in der Größenordnung von liegt $d$; in der Reihe des Nenners haben wir Terme $\sim 1/r^2$, die im Vergleich zu term vernachlässigt werden kann $\sim 1/r$zum $r \rightarrow \infty$.

Wir erhalten ein Vektorpotential der Form

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') \mathrm e^{-\mathrm i k \mathbf{n \cdot r'}} ,$$ dh das Vektorpotential verhält sich wie Kugelwellen, die für die Felder Transversalwellen liefern. Sie können die Exponentialfunktion erweitern, $$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \sum_n \frac{(-\mathrm i)^n}{n!} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') (k \mathbf{n \cdot r'})^n.$$

$\mathbf{n \cdot r'}$liegt in der Größenordnung von$d$, daher$kd \ll 1$; das bedeutet, dass alle Terme höherer Ordnung mit höher kleiner werden$n$(Pass auf$1/n!$Faktor), so dass der erste Term ungleich Null der dominierende Beitrag ist.

Wenn wir also nur den ersten Term in dieser Erweiterung beibehalten, haben wir

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') .$$ Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung $$- \mathrm i \omega \rho + \nabla \cdot \mathbf j =0,$$ und partielle Integration für jede Koordinate separat, $$\int \mathrm d^3r' \mathbf j = - \int \mathrm d^3r' \mathbf r' (\nabla \cdot \mathbf j ) = - \mathrm i \omega \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r') = - \mathrm i \omega \mathbf p ,$$ wo $\mathbf p = \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r')$ist die Definition des Dipolmoments.

Daher hat das Vektorpotential die Form

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = - \mathrm i \omega\frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \mathbf p ,$$ aus denen die Felder berechnet werden können. Das so berechnete elektrische Feld hat genau die Form des Feldes eines idealen (jedoch zeitlich oszillierenden) Dipols.

Wir müssen auch das retardierte Skalarpotential analysieren:

$$\phi(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\rho(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c).$$ Der Monopolbeitrag ergibt sich durch Einsetzen $|\mathbf{r-r'}|$einfach vorbei $r$, so dass $$\phi_{\mathrm m}(\mathbf r,t) = q (t-r/c)/r ,$$ wo $q(t)$ist die Gesamtladung als Funktion der Zeit. Diese bleibt aber, wie bereits beantwortet , erhalten, so dass das skalare Potential zwangsläufig statisch ist .

Zusammenfassung: Die Felder einer bewegten Ladung können im Fernfeld durch das Feld eines Dipols angenähert werden.

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Alternativ könnte man nach einem praktikableren Weg suchen, um die Strahlung von beliebigen Quellen zu berechnen.

Die Aussage in den Notizen des ersten von Ihnen bereitgestellten Links erfolgt im Kontext des Formalismus der Funktionen von Green , der in Abschnitt 6.1 behandelt wird. Zur Erinnerung: Die Green'sche Funktion ist die Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung (für gegebene Randbedingungen), wobei die Quelle (= der inhomogene Anteil) a ist$\delta$-Funktion. Jede andere inhomogene Lösung kann dann leicht über das Superpositionsprinzip erhalten werden, indem die Greensche Funktion multipliziert mit der inhomogenen Lösung integriert (dh aufsummiert) wird.

Der Autor sucht also eine Greensche Funktion zur Lösung der Maxwellschen Gleichungen, die, da sie in der Lorentz-Eichung liegen, durch Variablentrennung (die Zeitvariable wird getrennt und erscheint daher im Folgenden nicht) in zwei Helmholtz-Gleichungen transformiert werden , eine für das Vektorpotential und eine für das Skalarpotential (alle Konstanten weglassen)

$$[\nabla^2 + k^2] \phi (\mathbf{r}) = - \rho(\mathbf{r}) ,$$ $$[\nabla^2 + k^2] \mathbf A (\mathbf{r}) = - \mathbf j(\mathbf{r}) .$$ Der inhomogene Teil dieser Helmholtz-Gleichungen sind die Quellen, dh die Ladungs- und Stromdichten.

Für die Greenschen Funktionen suchen wir also die Lösung dieser inhomogenen linearen Differentialgleichungen im freien Raum, wo die Ladungs- und Stromdichten durch Deltafunktionen, also Gleichungen der Form, beschrieben werden

$$[\nabla^2 + k^2] G (\mathbf{r}, \mathbf r') = - \delta(\mathbf{r-r'}) .$$

Jetzt kommt der springende Punkt: Der Autor drückt in Gl. 6.20 die Stromdichte$\mathbf j(\mathbf r,t)$eines zeitabhängigen Dipols mit Hilfe der Deltafunktion,

$$\mathbf j (\mathbf r, t) = \delta(\mathbf{r-r_0}) \frac{\partial}{\partial t} \mathbf p(t),$$ wo $\mathbf p(t)$das zeitabhängige Dipolmoment ist, und $\mathbf r_0$ist der Ort des Dipols. Die Greensche Funktion kann also (zwischen Gl. 6.24 und 6.24) über das mathematische Dipolmoment neu ausgedrückt werden.

Bitte beachten Sie, dass es einen Unterschied gibt zwischen einem physikalischen Dipol, bei dem es sich um zwei tatsächliche Ladungen handelt, die durch einen endlichen Abstand voneinander getrennt sind, und einem idealen Dipol, der unendlich klein ist und sich daher an einem einzigen Punkt befindet!

Für den Formalismus grüner Funktionen ist es nicht wünschenswert, "beschleunigende" (oder "sich bewegende") Deltafunktionen als Quelle zu haben. Wie würdest du das lösen? Wahrscheinlich ist es möglich, aber es würde die Dinge nur unnötig erschweren - Sie könnten die Trennung der Variablen nicht durchführen, um zu den Helmholtz-Gleichungen zu gelangen. Sie beschränken sich also auf stationäre Ladung und Stromdichten, was die beschleunigende Ladung ausschließt. Ihr verbleibt mit zeitabhängigen, aber stationären Strom- und Ladungsdichten (genauer gesagt: die Zeitabhängigkeit und die Ortsabhängigkeit sollten so sein, dass sie als unabhängige Faktoren geschrieben werden können, wie z$\rho(\mathbf r,t) = \rho_0(\mathbf r) R(t)$); Eine zeitabhängige Ladungsdichte würde nur zu einem verzögerten skalaren elektrischen Potential führen (und die Ladungserhaltung verletzen, wie in der anderen Antwort erwähnt ), was ein schwankendes elektrisches Feld ergeben würde, das keine elektromagnetische Welle ist. Die zeitabhängige Stromdichte kann jedoch elektromagnetische Wellen hervorrufen, sofern die zeitliche Abhängigkeit von der richtigen Form ist (dh harmonische Schwingung).

Da die Stromdichte eines idealen Dipols die Form einer Delta-Funktion annimmt, können wir den idealen Dipol als Quelle für die Greensche Funktion der elektromagnetischen Strahlung im freien Raum identifizieren .

Da Sie jetzt eine beliebige Stromdichte in eine kontinuierliche Verteilung idealer Dipole zerlegen können, können Sie außerdem das Strahlungsmuster einer beliebigen Stromverteilung berechnen , indem Sie einfach die Quellfunktionen multipliziert mit der Green-Funktion integrieren.

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Das kann man mit der Greenschen Funktion in der Elektrostatik vergleichen. Dort haben Sie die Poisson-Gleichung (ohne Konstanten),

$$\nabla^2 \phi (\mathbf r) = - \rho (\mathbf r) .$$

Die Funktion des Grüns$G(\mathbf{r,r'})$wäre die Lösung der Gleichung

$$\nabla^2 G (\mathbf{ r,r'}) = - \delta(\mathbf{ r-r'}) ,$$ für die die Lösung im freien Raum (Randbedingungen ändern die Green'sche Funktion) liegt $$G (\mathbf{ r,r'}) = \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} .$$ Sie vergleichen das dann mit dem Potential einer einzelnen Punktladung und stellen fest, dass sie die gleiche funktionale Abhängigkeit haben. Sie identifizieren also die Punktladungen als die grundlegende Quelle des elektrostatischen Feldes.

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Zusammenfassend: In Anbetracht der Tatsache, dass die Greensche Funktion der Helmholtz-Gleichung über die Stromdichte eines idealen Dipols wieder ausgedrückt werden kann, ist es plausibel, den idealen Dipol als Grundelement der elektromagnetischen Strahlung zu identifizieren.

Einfacher Grund: Ein oszillierendes Monopolfeld in einem von Strömen isolierten Bereich würde die Ladungserhaltung verletzen. Beachten Sie, dass ein Monopolfeld nicht dasselbe ist wie eine oszillierende Monopolladung, die, wie in der Antwort von Rob Jeffries beschrieben , tatsächlich ein Dipolfeld erzeugt.

Lassen$(r,\,\theta,\phi)$seien die Standard-Kugelkoordinaten mit entsprechender orthonormaler Basis$(\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})$, die jeweils entlang der Richtung zunehmender jeweiliger Koordinate zeigen.

Dann hätte ein monopolares elektrisches Feld die funktionale Form:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{n}}(r,\,t)$$

wo die Größenordnung$f$und Richtung$\boldsymbol{\hat{n}}$nur abhängen$r$und Zeit$t$.

Erstens das Hairy-Ball-Theorem; siehe zB :

Tyler Jarvis und James Tanton, "The Hairy Ball Theorem via Sperners Lemma", Amer. Mathematik. Monthly , 111 , Nr. 7, S. 599-603, 2004

verbietet jegliches$\theta$- und$\phi$-unabhängiges Vektorfeld$\boldsymbol{\hat{n}}$mit$\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}}$Komponenten. Wir wissen also, dass unser Monopolfeld die Form haben muss:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{r}}$$

Aber berechnen Sie jetzt den Fluss von$\mathbf{E}$durch die Kugel$r=r_0$. Die Antwort und die implizit enthaltene Ladung nach dem Gaußschen Gesetz lauten:

$$\Phi_E = 4\,\pi\,r_0^2\, f(r,\,t) = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

was die Ladungserhaltung verletzt, es sei denn, die Ladung ändert sich nicht mit der Zeit oder es gibt radial gerichtete Ströme bei allen Werten von$r$(was wir nicht meinen, wenn wir von einem strahlenden Monopol sprechen). Das einzig mögliche monopolare Feld in einem dielektrischen Medium ist also ein elektrostatisches - das aus einer einzelnen, isolierten Ladung oder einer kugelsymmetrischen zentralen Ladungsverteilung.

Wenn Sie nur über das Fernfeld sprechen wollen, dann schließt das Hairy-Ball-Theorem allein tangentiale monopolare elektrische und magnetische Felder aus, die lokal wie ebene Wellen sind. Es muss welche geben$\theta$und$\phi$Abhängigkeit.

Diese Antwort verallgemeinert die Antwort von Rob Jeffries , die mit der Betrachtung der einfachsten Bewegungen einer isolierten Ladung beginnt, dh die Ladungserhaltung wird in seiner Antwort durch Konstruktion erfüllt.