Ableitungen der Dirac-Delta-Funktion und Kontinuitätsgleichung für eine einzelne Ladung

Es ist fast kein Problem, auf eine endliche Anzahl von Punktladungen zu verallgemeinern$q_i$an Positionen${\bf r}_i(t)$. Dann ist die Ladungsdichte

$$\rho({\bf r},t)~ =~ \sum_i q_i \delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)),$$

und die Stromdichte

$${\bf j}({\bf r},t)~ =~ \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)).$$

Lassen Sie uns der Klarheit halber schreiben${\bf \nabla}\equiv\frac{\partial}{\partial {\bf r}}.$Die Kettenregel liefert dann die Kontinuitätsgleichung

$$-\frac{\partial \rho({\bf r},t)}{\partial t} ~=~ -\sum_i q_i \frac{\partial }{\partial t}\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)) ~=~ \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\cdot \frac{\partial }{\partial {\bf r}}\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t))$$ $$~=~ \frac{\partial }{\partial {\bf r}} \cdot \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t))~=~\frac{\partial }{\partial {\bf r}} \cdot {\bf j}({\bf r},t).$$

Die gleiche Berechnung kann mit Hilfe von Testfunktionen genauer wiederholt werden .

Sie haben es nicht mehr mit reellwertigen Funktionen zu tun$\mathbb R^4$, aber mit Verteilungen, und Sie müssen Ausdrücke auswerten, indem Sie über eine Testfunktion integrieren$\varphi$:

$$\begin{align*} &\int_{\mathbb R^4}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}(\mathbf r,t) + \nabla\cdot\mathbf j(\mathbf r,t)\right)\varphi(\mathbf r,t)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\= &\int_{\mathbb R^4}\left(e\frac\partial{\partial t}\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\varphi(\mathrm r,t) + \sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\frac\partial{\partial x^i}\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\varphi(\mathrm r,t)\right)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\=&\int_{\mathbb R^4}\left(-e\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\frac{\partial\varphi}{\partial t}(\mathbf r,t)-\sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(\mathbf r,t)\right)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\=&\int_\mathbb R\left(-e\frac{\partial\varphi}{\partial t}(\mathbf R(t),t)-\sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(\mathbf R(t),t)\right)\;\mathrm dt \\=&\int_\mathbb R -e\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(\mathbf R(t),t)\;\mathrm dt \\=&\left[-e\varphi(\mathbf R(t),t)\right]^\infty_{t=-\infty} \\=&0 \end{align*}$$

Die zweite Gleichheit sieht wie partielle Integration aus$\varphi$hat kompakten Träger (dh verschwindet insbesondere im Unendlichen), ist aber eigentlich die Definition der Ableitung einer Verteilung.