Ist dies ein gültiger Beweis dafür, dass der Viererstrom erhalten bleibt?

Ein "koscherer" Weg, dies zu tun, verwendet Testfunktionen . Betrachten Sie eine Testfunktion$\phi:\mathbb R^4\to \mathbb R$. Beachte das

$$\begin{align} \int_{\mathbb R^4} d^4 x\, \partial_\mu j^\mu(x) \phi(x) &= ec\int_{-\infty}^{\infty} ds\,u^\mu(s)\int_{\mathbb R^4} d^4x\,\partial_\mu\delta^4(x - X(s))\phi(x) \\ &= -ec\int_{-\infty}^{\infty} ds\, u^\mu(s)\int_{\mathbb R^4} d^4 x\,\delta^4(x-X(s))\partial_\mu\phi(x) \\ &= -ec \int_{-\infty}^{\infty} ds\, u^\mu(s)\partial_\mu\phi(X(s)) \\ &= -ec\int_{-\infty}^{\infty} ds \frac{d}{ds}\phi(X(s)) \\ &= -ec \left[\lim_{s\to\infty}\phi(X(s))-\lim_{s\to-\infty}\phi(X(s))\right] \end{align}$$ Nun, wenn wir davon ausgehen $$\begin{align} \lim_{s\to\pm\infty}|X(s)|\to\infty \end{align}$$ nämlich, dass das Teilchen im Unendlichen beginnt und endet, dann finden wir das, da Testfunktionen per Definition im Unendlichen verschwinden $$\begin{align} \int_{\mathbb R^4} d^4 x\, \partial_\mu j^\mu(x) \phi(x) = 0 \end{align}$$ für alle Testfunktionen $\phi$, und damit per definitionem $$\begin{align} \partial_\mu j^\mu = 0 \end{align}$$ im Sinne von Distributionen.