Lorentz-Invarianz der elektrischen Ladung. (Gravitation und Kosmologie von Weinberg)

Question

Lorentz-Invarianz der elektrischen Ladung. (Gravitation und Kosmologie von Weinberg)

Aravind Madhavan

Ich habe das Kapitel Spezielle Relativitätstheorie aus Weinbergs Buch Gravitation und Kosmologie gelesen und könnte etwas Hilfe gebrauchen, um zu beweisen, dass die Ladung ein Lorentz-Skalar ist.

6 Ströme und Dichten
Angenommen, wir haben ein System von Teilchen mit Position $\,\mathbf x_{n}(t)\,$ und Gebühren $\,e_{n}$ . Die Strom- und Ladungsdichten werden üblicherweise durch definiert
$\begin{aligned} (2.6.1) & J (X, T) & \equiv \sum_{N} e_{N} δ^{3} [X - X_{N} (T)] \frac{D X_{N} (T)}{D T} \\ (2.6.2) & ε (X, T) & \equiv \sum_{N} e_{N} δ^{3} [X - X_{N} (T)] \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf J(\mathbf x,t) & \boldsymbol{\equiv} \sum\limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right]\dfrac{\mathrm d \mathbf x_{n}(t)}{\mathrm d t} \tag{2.6.1}\label{2.6.1}\\ \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf x,t) & \boldsymbol{\equiv} \sum \limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right] \tag{2.6.2}\label{2.6.2} \end{align}$ Hier $\,\delta^3\,$ ist die Dirac-Delta-Funktion, definiert durch die Aussage, dass für jede glatte Funktion $\,f(x)$ , $\int D^{3} X F (X) δ^{3} (X - j) = F (j)$ $\begin{equation} \int\mathrm d^3 x f(\mathbf x)\delta^3\left(\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf y\right) \boldsymbol{=}f(\mathbf y) \nonumber \end{equation}$ Wir können uns vereinen $\,\mathbf J\,$ Und $\,\boldsymbol{\varepsilon}\,$ in einen Vierervektor $\,J^{\alpha}\,$ indem man es einstellt $\begin{matrix} (2.6.3) & J^{0} \equiv ε \end{matrix}$ $\begin{equation} J^{0}\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{\varepsilon} \tag{2.6.3}\label{2.6.3} \end{equation}$ das ist $\begin{matrix} (2.6.4) & J^{a} (X) \equiv \sum_{N} e_{N} δ^{3} [X - X_{N} (T)] \frac{D X_{N}^{a} (T)}{D T} \end{matrix}$ $\begin{equation} J^{\alpha}(x) \boldsymbol{\equiv} \sum\limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right]\dfrac{\mathrm d x^{\alpha}_{n}(t)}{\mathrm d t} \tag{2.6.4}\label{2.6.4} \end{equation}$
........
........
Das merken wir auch in der vierdimensionalen Sprache $\begin{matrix} (2.6.6) & \frac{\partial}{\partial X^{a}} J^{a} (X) = 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha}}J^{\alpha}(x)\boldsymbol{=}0 \tag{2.6.6}\label{2.6.6} \end{equation}$ Die Lorentz-Invarianz dieser Aussage ist offensichtlich.
Wann immer Stromerfüllt den invarianten Erhaltungssatz $\eqref{2.6.6}$ können wir eine Gesamtgebühr bildenDiese Größe ist zeitunabhängig, weil $\eqref{2.6.6}$ und der Satz von Gauß geben $\frac{D Q}{D T} = \int D^{3} X \frac{\partial}{\partial X^{0}} J^{0} (X) = - \int D^{3} X \nabla \cdot J (X) = 0$ $\begin{equation} \dfrac{\mathrm d Q}{\mathrm d t}\boldsymbol{=} \int\mathrm d^3 x \dfrac{\partial}{\partial x^{0}} J^{0}(x)\boldsymbol{=}\boldsymbol{-} \int\mathrm d^3 x \boldsymbol{\nabla\cdot}\mathbf J(x) \boldsymbol{=} 0 \nonumber \end{equation}$ Wenn $\,J^{\alpha}(x)\,$ ist ein Vierervektor, $\,Q\,$ ist nicht nur konstant, sondern ein Skalar. Um dies zu sehen, schreiben Sie $\,Q\,$ als $\begin{matrix} (2.6.8) & Q = \int D^{4} X J^{a} (X) \partial_{a} θ (N_{β} X^{β}) \end{matrix}$ $\begin{equation} Q\boldsymbol{=}\int \mathrm d^4 x J^{\alpha}(x)\partial_{\alpha}\theta(n_{\beta}x^{\beta}) \tag{2.6.8}\label{2.6.8} \end{equation}$ Wo $\,\theta\,$ ist die Stufenfunktion $θ (S) = {\begin{cases} 1 S > 0 \\ 0 S < 0 \end{cases}$ $\begin{equation} \theta(s)\boldsymbol{=} \begin{cases} 1\quad s>0\\ 0\quad s<0 \end{cases} \nonumber \end{equation}$ Und $\,n_{\lambda}\,$ ist definiert durch $N_{1} \equiv N_{2} \equiv N_{3} \equiv 0, N_{0} \equiv + 1$ $\begin{equation} n_{1}\boldsymbol{\equiv}n_{2}\boldsymbol{\equiv}n_{3}\boldsymbol{\equiv}0,\quad n_{0}\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{+}1 \nonumber \end{equation}$ Die Wirkung einer Lorentz-Transformation auf $\,Q\,$ ist dann offenbar einfach zu ändern $\,n\,$ : und verwenden $\eqref{2.6.6}$ , die Änderung in $\,Q\,$ ist dann $Q^{'} - Q = \int D^{4} X \partial_{a} [J^{a} (X) {θ (N_{β}^{'} X^{β}) - θ (N_{β} X^{β})}]$ $\begin{equation} Q'\boldsymbol{-}Q\boldsymbol{=}\int \mathrm d^4 x \partial_{\alpha} \left[J^{\alpha}(x)\{\theta(n'_{\beta}x^{\beta})\boldsymbol{-}\theta(n_{\beta}x^{\beta})\}\right] \nonumber \end{equation}$ Die jetzige $\,J^{\alpha}(x)\,$ kann vermutlich verschwinden, wenn $\,\vert\mathbf x\vert\longrightarrow \boldsymbol{+}\infty\,$ mit $\,t\,$ behoben.Während die Funktion $θ(n′_β x^β)−θ(n_β x^β)$ verschwindet als |t|⟶+∞ mit festem x. Daher können wir den vierdimensionalen Satz von Gauß anwenden und finden $\,Q'\boldsymbol{-}Q\boldsymbol{=}0$ ; das ist, $\,Q\,$ ist ein Skalar.
(Für die Stromdichtedefiniert von $\eqref{2.6.2}$ die Ladung $\eqref{2.6.7}$ Istwas natürlich ein konstanter Skalar ist; Beim Umgang mit der Ladungs- und Stromverteilung ausgedehnter Teilchen ist es jedoch wichtig, dies zu erkennen $\eqref{2.6.7}$ definiert einen zeitunabhängigen Skalar für jeden konservierten Vierervektor $\,J^{\alpha}$ .)

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!$

Ich habe Probleme, den Teil zu verstehen, in dem es heißt: "Die Wirkung einer Lorentz-Transformation auf Q besteht einfach darin, sich zu ändern $n$ ." Ich weiß, dass das Skalarprodukt zwischen einem kovarianten und einem kontravarianten Vektor ein Lorentz-Skalar ist. Also ist das Skalarprodukt aus Stromdichte und partieller Ableitungsfunktion ein Lorentz-Skalar. Aber warum ändern? $n$ Zu $n'$ ? Der Term innerhalb der Stufenfunktion hat auch die Form eines Skalarprodukts zwischen einem kovarianten und einem kontravarianten Vektor. sollte es also nicht ein Lorentz-Skalar sein? Wenn das Volumenelement ebenfalls invariant ist, können wir dann nicht sofort sagen, dass die Ladung ein Lorentz-Skalar ist?

{Und in der Gleichung von $Q'-Q$ , wie ist der Stromdichtevektor in die partielle Ableitungsfunktion gegangen?.}

Antworten (1)

Lorentz-Invarianz der elektrischen Ladung. (Gravitation und Kosmologie von Weinberg)

Kksen · Answer 1

Lassen Sie uns bezeichnen $\{x^\alpha\}$ als die ursprünglichen Koordinaten und $\{x'^\alpha\}$ als transformierte Koordinaten. Es gibt insgesamt 4 Größen, die einer Lorentz-Transformation unterzogen werden. Das erste ist das Volumenelement $d^4x$ . Es verwandelt sich als

D^{4} j = J D^{4} X,

$d^4y=Jd^4x,$ Wo

J = \sqrt{g / g^{'}}

$J=\sqrt{g/g'}$ ist der Jacobi der Transformation und

g

$g$ , ebenso gut wie

g^{'}

$g'$ , bezeichnen jeweils die Determinante des metrischen Tensors in beiden Koordinatensystemen. In der Speziellen Relativitätstheorie (SR) sind beide Determinanten

- 1

$-1$ , da der metrische Tensor in allen Lorentzrahmen immer die Minkowski-Metrik ist. Also der 4-bändige

d^{4} x

$d^4x$ ist ein Lorentz-Skalar.
Die zweite Größe und die dritte Größe sind der 4-Strom-Vektor bzw. die partielle Ableitung. Sie haben Recht damit, dass das Produkt dieser beiden ein Lorentz-Skalar ist, also brauchen wir sie nicht zu ändern. Die endgültige Menge ist die Variable in der Heaviside-Schrittfunktion

θ (x)

$\theta(x)$ . Erweiterung des Ausdrucks

θ (n_{β} x^{β})

$\theta(n_{\beta}x^{\beta})$ gibt

θ (t)

$\theta(t)$ und unter einer Lorentz-Transformation wird die Heaviside-Stufenfunktion

θ (a t^{'} + b x^{'})

$\theta(at'+bx')$ für einige Skalare

a

$a$ Und

b

$b$ . Da die gleiche Variable

x

$x$ wird im Ausdruck in verwendet

Q^{'}

$Q'$ , dann können wir ausdrücken

a t^{'} + b x^{'}

$a t'+b x'$ als

n_{β}^{'} x^{β} .

$n'_\beta x^\beta.$ in der die Variable

x

$x$ bezeichnet nun die transformierten Koordinaten.
Der 4-Strom-Vektor kann aufgrund des Ausdrucks in die partielle Ableitung eingefügt werden

(2.2.6)

$(2.2.6)$ . Unter Verwendung der Kettenregel haben wir

\partial_{a} J^{a} {θ (N_{β}^{'} X^{β}) - θ (N_{β} X^{β})} + J^{a} \partial_{a} {θ (N_{β}^{'} X^{β}) - θ (N_{β} X^{β})},

$\partial_\alpha J^\alpha\{\theta(n'_\beta x^\beta)-\theta(n_\beta x^\beta)\}+J^\alpha\partial_\alpha\{\theta(n'_\beta x^\beta)-\theta(n_\beta x^\beta)\},$ woher

e q . (2.2.6),

$eq.(2.2.6),$ die linke Seite verschwindet und wir erhalten den ursprünglichen Ausdruck für wieder

Q

$Q$ .
Der Term in der Heaviside-Stufenfunktion ist kein Skalarprodukt zwischen einem kontravarianten Vektor und einem kovarianten Vektor wie

n_{β}

$n_\beta$ ist sicherlich kein Vektor. Es ist nur eine bequeme Art, den Ausdruck aufzuschreiben. Schließlich könnte es aufschlussreich sein zu sehen, wie die

e q . (2.6.8)

$eq.(2.6.8)$ kann in den üblichen Ausdruck für elektrische Ladung umgewandelt werden

Q = \int d^{3} x J^{0} (x) .

$Q=\int d^3xJ^0(x).$ Erweitern der Summe in der Schrittfunktion

θ

$\theta$ gibt

Q = \int D^{4} X J^{a} \partial_{a} θ (T) .

$Q=\int d^4xJ^\alpha\partial_\alpha\theta(t).$ Verwenden

\frac{d θ}{d x} = δ (x)

$\frac{d\theta}{dx}=\delta(x)$ , wir haben

Q = \int D^{4} X J^{0} δ (T) = \int D^{3} X J^{0} \int D T δ (T) = \int D^{3} J^{0} .

$Q=\int d^4x J^0\delta(t)=\int d^3x J^0\int dt\delta (t)=\int d^3 J^0.$

Verstanden. Jetzt wird eine Erklärung zu diesem Teil großartig sein. ''Das aktuelle Jα(x) kann als verschwindend angenommen werden, falls |x|⟶+∞ bei festem t. Während die Funktion $θ(n'_β x^β)−θ(n_β x^β)$ verschwindet als |t|⟶+∞ mit festem x. Daher können wir das vierdimensionale Gaußsche Theorem anwenden und Q′−Q=0 finden; das heißt, Q ist ein Skalar. ''
Dies erfordert eine ziemlich ausführliche Erklärung. Als Referenz können Sie Kapitel 5 von Core Principles of Special and General Relativity von James Luscombe lesen, das eine Erklärung der Integration im Minkowski-Raum enthält.

Lorentz-Invarianz der elektrischen Ladung. (Gravitation und Kosmologie von Weinberg)

Aravind Madhavan

Antworten (1)

Kksen

Aravind Madhavan

Kksen

Kksen

Masselose geladene Teilchen in einem elektrischen Feld

Versteckter Schwung

Warum ist Ladung Lorentz-invariant, relativistische Masse aber nicht?

Noethers erster Satz und klassischer Beweis der Erhaltung der elektrischen Ladung

Ableitung der magnetischen Kraft für eine Ladung, die sich relativ zu einem Draht bewegt (M. Purcell's Electricity and Magnetism)

Relativitätstheorie in einem stromdurchflossenen Draht

Was ist die Symmetrie, die für die Erhaltung/Erhaltung elektrischer Ladungen verantwortlich ist?

Ist dies ein gültiger Beweis dafür, dass der Viererstrom erhalten bleibt?

Was ist problematisch am Moving-Magnet-and-Conductor-Problem?

Ableitung des 4-Stroms jjj als 4-Vektor in Landau-Lifschitz: Formulierung mit strenger mathematischer Behandlung?