Ableitungsgleichung für das Überspringen von Steinen über Wasser

Warum können Steine ​​über Wasser springen ( Steinspringen )? Wenn Sie zum Beispiel ein Experiment durchführen, bei dem Sie beide Steine ​​aus derselben Höhe fallen lassen, aber einen erheblich beschleunigen x -Richtung fällt einer ins Wasser und der andere nicht. Warum ist das so?

Mein Versuch durch Dimensionsanalyse

Ich gehe davon aus, dass die Kraft des Wassers auf den Stein von der dem Wasser ausgesetzten Oberfläche, der Geschwindigkeit des Steins beim Aufprall, dem Anstellwinkel und der Dichte des Wassers abhängt. Wenn ich diese also miteinander multipliziere, erhalte ich einheitenweise Folgendes.

k g m 3 ⋅ m 2 ⋅ m s = k g s

Das ist falsch, da wir Newton und nicht den Massendurchfluss wollen. Also ich kenne das einzige, was einen extra geben wird s im Nenner ist die Geschwindigkeit, also quadriere sie.

k g m 3 ⋅ m 2 ⋅ m 2 s 2 = k g ⋅ m s 2

Dies sind Newton, also lautet die Gleichung für die Kraft nach der Dimensionsanalyse ...

F w = μ ⋅ ρ ⋅ EIN ⋅ v 2
wo μ wurde hinzugefügt, um meiner Argumentation Schärfe zu verleihen. Wenn ich die Schwerkraft einbeziehe und eine Vektornotation hinzufüge, bekomme ich

F = [ − x v u ⋅ F w , − j v u ⋅ F w − m g ]

wo x v u und j v u sind die Einheitsvektoren für die Geschwindigkeit an dieser Position. Teilen durch m Ich versuche die Beschleunigung zu bekommen.

a = [ − x v u ⋅ F w m , − j v u ⋅ F w m − g ]

Wenn ich integriere, stelle ich fest, dass meine Methode zusammenbricht.

v = [ v x 0 − x v u ⋅ F w ⋅ t m , v j 0 − j v u ⋅ F w ⋅ t m − g ⋅ t ]

Allerdings hält die Beschleunigung vom Wasser auf den Stein nur eine begrenzte Zeit an, also brauche ich die t multiplizieren F w zu beginnen 0 und erhöhen sich nur für eine begrenzte Zeit.

v = [ v x 0 − x v u ⋅ F w ⋅ Δ t m , v j 0 − j v u ⋅ F w ⋅ Δ t m − g ⋅ t ]

Also definiere ich Δ t von zuzunehmen 0 bis irgendwann c, danach für alle t Δ t wird gleich c.

Ich denke, dass ich einen möglichen Widerstand durch die Bewegung entlang der Wasseroberfläche vernachlässigt habe. Ich würde mich über ein Feedback freuen. Außerdem erstellt die Δ t Funktion angemessen?

Ich liebe diese Frage und den Ansatz, den Sie bisher gewählt haben. Die horizontale Geschwindigkeit verringert sich und Sie erhalten ein gutes Springen, wenn der Winkel nach innen ungefähr gleich dem Winkel nach außen ist. Das heißt, der horizontale Widerstand muss klein sein, also muss die Eindringtiefe des Steins in das Wasser gering sein. Auf diese Weise "bewegst du ein bisschen viel Wasser", so funktioniert das Springen. Alternativ ist die während des Sprungs verlorene Energie kinetische Energie des Wassers; Wenn die horizontale Geschwindigkeit zunimmt, bewegen Sie wieder mehr Wasser langsamer und mit weniger Energieverlust. Ich werde weiter darüber nachdenken.
@Floris Danke. Wäre es richtig, die Gleichung erneut zu integrieren, um die Entfernung zum Zeitpunkt t zu finden? Der Grund, warum ich es nicht getan habe, war wegen der Δ t Funktion in der Gleichung.
Wenn Sie die Physik nicht richtig beherrschen, ist die Dimensionsanalyse oft ein guter Anfang. Eine formellere Analyse findet sich unter phys.ens.fr/~lbocquet/AJPricochets.pdf – peer-reviewed, veröffentlicht in Am J Phys und unter Verwendung einer Dimensionsanalyse v 2 Beziehung...
Wenn Sie davon ausgehen, dass der horizontale Widerstand gering ist, können Sie die Gleichung trennen und unabhängig voneinander nach den beiden Bewegungsrichtungen lösen. Es ist ein guter Anfang.
Die formale Methode zur Durchführung einer Dimensionsanalyse ist das Pi-Theorem von Buckingham. Sie können alle dimensionslosen Gruppen finden und dann ein Experiment durchführen, um die genaue Beziehung zu bestimmen. Ich bin neu, daher kann ich keine Kommentare hinzufügen.
Erinnert mich an einen Blogbeitrag, den ich vor ein paar Jahren geschrieben habe, obwohl es in diesem Fall ein Motorradspringen war, anstatt einen Stein über Wasser zu hüpfen. (Mythbusters :-P) Es endete mit einer nicht trivialen Berechnung; die Integration musste numerisch erfolgen.
Übrigens, Zach, Fragen, bei denen Sie einfach jemanden bitten, ein Problem für Sie zu lösen (z. B. „Was wäre die Gleichung, die mehrere Sprünge berücksichtigt?“), sowie Fragen, bei denen Sie jemanden bitten, Ihre Arbeit zu überprüfen, sind hier off-topic. Dementsprechend habe ich Ihren letzten Absatz entfernt. Aber die Frage, die Sie in Ihrem ersten Absatz stellen, ist gut.
Betrachten Sie Ihren Stein als Punktobjekt oder als festen Körper?
@DavidZ Wirklich, beim Austausch von Math-Stacks dürfen die Leute Ihnen helfen, solange Sie sich anstrengen, insbesondere bei der Gesundheitsprüfung. Ich zeigte mehr als die Hälfte der Arbeit und bat einfach um Hilfe, um den Rest zu zeigen, weil ich nicht weiterkam. Es scheint ein Gegenstrom zur Atmosphäre auf MSE zu sein. Ich weiß auch intuitiv, warum ein Stein springt, ich möchte die Gleichungen dafür kennen, warum ein Stein springt. Sie haben meine Frage in jeder Hinsicht ausgehöhlt.
@Zach466920 das ist nicht Mathematik . Erwarten Sie nicht, dass irgendetwas, das Sie über die Kultur dieser Seite gelernt haben, hier zutrifft. Ich weiß, ich habe viel von dem herausgezogen, was Sie gefragt haben, aber all das Zeug war sowieso nicht zum Thema. Der Teil, den ich verlassen habe, um zu fragen, warum ein übersprungener Stein springt, ein fallengelassener jedoch nicht, ist eine vollkommen gute Frage. (Wenn Sie wirklich nur nach jemandem suchen, der Ihre Arbeit überprüft und/oder die Berechnung für Sie durchführt, ist dies nicht die richtige Seite dafür, aber ich vermute, das ist nicht der Fall.)
@DavidZ Entschuldigung für den Ärger. Ich habe dieses Mal Meta-Beiträge gelesen, um einen endgültigen Standpunkt dazu zu erhalten. Ich bearbeite meinen Beitrag, um zu fragen, ob ich alle relevanten Physik aufgenommen habe. Sie schauen, ob das richtig ist (ich meine das Frageformat).
@Zach466920 Keine Sorge, ich freue mich, mit Ihnen daran zu arbeiten. (Tut mir leid, wenn ich etwas schroff war; ich war vor 14 Stunden ziemlich müde.) Ehrlich gesagt bin ich kein Fan davon, zu fragen, ob Sie alle relevanten Physikangaben aufgenommen haben - es ist fast so, als würden Sie einfach nur darum bitten, Ihre Arbeit zu überprüfen - aber vielleicht ist es ok. Was die Frage verbessern würde, wäre, wenn Sie ein physikalisches Phänomen oder einen Effekt identifizieren, von dem Sie glauben, dass Sie ihn hätten einbeziehen müssen, sich aber nicht sicher waren, oder einen bestimmten Grund zu der Annahme, dass Sie etwas ausgelassen oder etwas falsch gemacht haben, aber Sie können es nicht Identifizieren Sie, was Sie ausgelassen oder falsch gemacht haben. Usw.
@ DavidZ Ok, ich habe noch eine Bearbeitung vorgenommen. Und Sie sollten wissen, dass Floris einen ziemlich guten Link bereitgestellt hat, sodass die meisten Fragen tatsächlich beantwortet wurden. Ich werde diese Richtlinien berücksichtigen, wenn ich zukünftige Fragen stelle.
Ich glaube, ich habe ein Papier zu genau diesem Thema, aber es liegt im Büro. Vielleicht komme ich morgen dazu, es auszugraben und einen Hinweis zu geben.
Ich habe einmal gesehen, wie Neil Balmforth darüber gesprochen hat: Seine Arbeit zu diesem Problem kann hier gefunden werden: math.ubc.ca/~njb (gehen Sie zur Fluid-Structure Interactions-Seite, es ist die erste Referenz mit dem Titel Skipping)

Antworten (3)

1957 forderte ein Artikel in Scientific American die Leser auf, zu erklären, warum das Springen von Steinen auf dem Wasser unterschiedliche Muster von Sprüngen erzeugte. Nach 10.000 Antworten reichte Kirston Koths einen Hochgeschwindigkeitsfilm ein, der etwas Klarheit brachte. Um einen guten Sprung zu bekommen, kommt der Stein ziemlich flach an und wird durch das Drehen stabilisiert. Es schiebt eine Bugwelle nach oben, über die der Stein aufgrund der geringen Reibung der Flüssigkeitsoberfläche gleitet und wieder in die Luft gehoben wird. Solange der Schwung und der Spin (die bei jeder Interaktion durch den Flüssigkeitswiderstand reduziert werden) ausreichen, um sich vom Widerstand zu befreien, wiederholt sich der Vorgang in immer kleineren Sprüngen, bis der Stein schließlich eingefangen wird und sinkt. Diese Wechselwirkung ist ziemlich komplex und daher in der versuchten mathematischen Weise schwierig zu modellieren.

Bocquets Artikel zu diesem Thema deutet darauf hin F ∝ v 2 Argument ist richtig, macht aber danach etwas strengere Physik.

Diese Frage kann auf zwei Arten beantwortet werden. Praktisch ist dies nur ein Sonderfall davon; Höhe des Wassers 'Spritzen' und das; Meteoriten-ähnlicher Einschlag eines Joghurttropfens Problem.

Ansatz 1. Prinzip von Bernoulli; v^2/2 + p/rho = konstant

Die Geschwindigkeit wird wie von Bernoulli erklärt auf Druck übertragen. Dieser Druck ist an einem Staupunkt maximal. An diesem Punkt drückt der Druck das Objekt zurück, der Kraftvektor steht senkrecht auf der Oberfläche. Wenn sich das Objekt nicht dreht, dreht es sich aufgrund dieses Stoßes an der Vorderkante um. Wenn sich das Objekt dreht, bleibt es im Gleichgewicht und sinkt mit zunehmendem Druck auf das Wasser bis zu dem Punkt, an dem es keine vertikale Geschwindigkeit mehr hat. Dann drücken diese Druckkräfte das Objekt zurück, so dass es wieder vertikale Geschwindigkeit hat, aber jetzt ist es nach oben. Der Stein springt aus dem Wasser.

Ansatz 2. Newtonsches Gesetz

Wasser hat eine Oberflächenspannung von 72,8 mN/m. Die Einheit N/m kann auch kg/s^2 oder J/m2 geschrieben werden. In diesem Fall ist J/m2 am praktischsten.

Je kleiner der Auftreffwinkel des Steins ist, desto größer wird dieser Bereich, wodurch mehr Energie bei elastischer Kollision zurückgegeben wird.

Es gibt auch mehr Aspekte, wie die Form oder den Auftreffwinkel des Steins, die nach der Newtonschen Impulsgleichung, besser gesagt in Form der Eulerschen Punp- und Turbinengleichung, arbeiten.

Dieses Bild zeigt die Vektoren; die Wasserstützkraft, die kinetische Energie des Steinkommens und die Energie nach dem Überspringen.
Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Sie brauchen also einen flachen Stein, der im Vergleich zur Aufprallfläche ein geringes Gewicht hat, und er muss in einem Winkel (Steinoberfläche im Vergleich zu Wasser) geworfen werden, der optimal 2x (theoretisch max, praktisch 1,8) des Optimalen ist Der Kollisionswinkel definierte das Gewicht/Oberflächen-Verhältnis.

https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_tension https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_pump_and_turbine_equation

Wenn Sie eine Büroklammer tief genug "fallen lassen", "hüpft" sie nicht nur, sondern schwimmt. Und dieses Schweben geht sicher nicht nach dem Achimedes-Prinzip.

https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes'_principle

Der Unterschied dieser beiden Prinzipien? Skala; Newtons Gesetze funktionieren im Makromaßstab, aber Bernoulli erklärt es bis auf die Ebene einzelner Teilchen. Bis hin zum QED, wo sich elektromagnetische Kräfte gegenseitig antreiben. Elastische Kollision ist die gleiche Geschwindigkeits-> Druck-> Geschwindigkeitsänderung, wie von Bernoulli erklärt. Und die Druckgesetze machen es leicht zu verstehen, warum die Vektoren wie in Newtons Gesetzen geschrieben sind.

Stein hat einen Anstellwinkel, wenn sich also Stein im Wasser bewegt, weil Wasser Trägheit hat, und Stein sich bewegt, um Wasser in Bewegung zu versetzen, steigt der Druck des Wassers. Wenn dieser Druck auf eine bestimmte Höhe ansteigt, entspricht die Wasseroberfläche unter dem Stein einem Gefälle (dem Gefälle des Wassers). Aufgrund der Trägheit des Steins bewegt sich der Stein entlang dieser Schräge nach oben. Und endlich raus aus dem Wasser. Nach dem Verlassen des Wassers gibt es kein Gefälle. Unter der Wirkung der Schwerkraft fällt der Stein schließlich zurück ins Wasser. Daher kann die Auftriebsformel des Flügels nach entsprechender Verbesserung verwendet werden, um die Bewegung von Steinen auf der Wasseroberfläche zu beschreiben.

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