Änderung des Aussehens des Flüssigkeitstropfens aufgrund der Schwerkraft

Ein im Vakuum frei fallender Tropfen ist kugelförmig. Denn freier Fall in einem Gravitationsfeld ist dasselbe wie Ruhe ohne vorhandenes Gravitationsfeld: Gravitationsfeld und Beschleunigung heben sich gegenseitig auf.

Regentropfen, die auf die Erde fallen, können je nach Größe verschiedene Formen haben, obwohl mir nicht bekannt ist, dass sie länglich werden können (können Sie eine Quelle angeben?). Diese Formen entstehen durch die an ihnen vorbeiströmende Luft auf eher intuitive Weise: Grob gesagt bewirkt der Luftstrom, dass der Boden flacher wird.

Bearbeiten: In Bezug auf das Aussehen von Regentropfen (im Gegensatz zu ihrer physischen Form) sollten Sie erwägen, ein Foto von fallendem Regen zu machen. Die Kamera integriert das einfallende Licht über die Belichtungszeit$t$, während dessen der Tropfen eine Strecke von zurücklegt$v t$, Wo$v$ist die Geschwindigkeit. Wenn wir nahe am Boden sind, ist dies die Endgeschwindigkeit, die ungefähr ist $2_{m/s}$. Wenn wir eine Belichtungszeit von verwenden$t=1/60_s$(sagen wir, wir verwenden einen Blitz), der Tropfen zeichnet eine lange Linie$\sim 3_{cm}$. Die sichtbare Linie auf dem Foto muss dann die Entfernung vom Tropfen usw. berücksichtigen.

Es ist keine Antwort, sondern ein unvollendeter Entwurf, wie man die Form erhält:

Lassen$y(x)$sei die Profilfunktion dieser achsensymmetrischen Form. Angenommen, ein laminares Reibungsregime impliziert, dass die gesamte Gegenkraft zum Gewicht ist:

$$F=2\pi av\int_0^L\frac{y'y}{\sqrt{1+y'^2}}dx$$ weil die Reibungskraft entlang der Normalen ist, während die Projektion entlang der Achse benötigt wird.

Dies ist ein Variationsproblem, das Minimum von F wird unter der Einschränkung des konstanten Volumens gesucht, gegeben durch:

$$V=\pi\int_0^L y^2dx$$ Und$y(0)=y(L)=0$.

Mit Lagrange-Multiplikatoren erhalten wir das Funktional:

$$I[y]=\int_0^L \frac{\pi a v y y'}{\sqrt{1+y'^2}}-\lambda( \frac{V}{L}-\pi y^2)dx$$ . Die Euler-Lagrange-Gleichung erlaubt es, y als Funktion des Multiplikators und der Ableitungen auszudrücken, aber ich habe hier aufgehört, weil es ein bisschen langweilig wird und es hier spät ist.

Dann sollte die Ableitung in Richtung folgen$\lambda$Erhalten einer endgültigen ODE für y, ist sie dennoch nichtlinear und von hoher Ordnung.

Letzteres soll insbesondere implizieren, dass es Formenfamilien gibt, also vielleicht keine Einigung darüber besteht.