Welche Form hat ein Wasserstrahl, der aus einem Rohr kommt?

Untersuchen wir zunächst die ursprüngliche Form unmittelbar nach dem Austritt des Wassers aus dem Rohr:

Anfänglich besitzt der Strom einen wohldefinierten Krümmungsradius$R$, die wir finden können, indem wir die Euler-Gleichung normal auf eine Stromlinie anwenden:

$$\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial n} - g\frac{\partial y}{\partial n}$$

Wo$n$ist eine radiale Koordinate senkrecht zu einer Stromlinie im Strahl, bezogen auf den Krümmungsmittelpunkt.

Sagen wir den Rohrdurchmesser$D$ist klein ($R>>D$), Dann$\frac{\partial P}{\partial n} \sim 0$da es keinen merklichen Druckgradienten über dem Strömungsrohr gibt.

Auch,$\frac{\partial y}{\partial n} = -1$von der Untersuchung des Koordinatensystems.

Dies zeigt, dass der lokale Krümmungsradius direkt beim Austritt des Stroms aus dem Rohr gegeben ist durch:

$$R = \frac{V^2}{g}$$

Dies definiert einen Kreis, der gegeben ist durch (siehe Koordinatensystem):

$$x^2 + (R-y)^2= R^2$$

$$x^2 + y^2 = 2Ry$$

Ganz nah am Ursprung,$x^2>>y^2$, also ignorieren$y^2$und löse nach$y$:

$$y = \frac{x^2}{2R} = g\frac{x^2}{2V^2}$$

Wo$V$ist die Austrittsgeschwindigkeit am Strahl, und ich habe unseren vorherigen Ausdruck für ersetzt$R$.

Dieses Ergebnis macht Sinn; Betrachten Sie einen Strahl mit großer Austrittsgeschwindigkeit und beachten Sie, wie wir wie erwartet eine Parabel mit großer Brennweite erhalten.

EDIT: Wie hängt die Form vom Druck P und dem Rohrdurchmesser D ab?

Welche Form und Größe hat dieser Bogen in Abhängigkeit von D, dem Innendurchmesser des Rohrs, und P, dem Wasserdruck?

Beide$D$Und$P$die Geschwindigkeit beeinflussen$V$in unserer parabolischen Gleichung, aber die spezifische Gleichung$V=V(D,P)$hängt davon ab, was vor dem Rohrausgang passiert.

Um die Wirkung zu sehen$D$, könnten Sie die Massenerhaltung verwenden$A_cV = constant$innerhalb des Rohres, wo$A_c$ist die Querschnittsfläche des Rohres. Größer$D$wird daher kleiner ergeben$V$und umgekehrt.

Um die Wirkung zu sehen$P$, müssen Sie vor dem Rohrausgang klären, was Ihr System beinhaltet. Wenn unser Rohr zum Beispiel ein kleines Loch in einem Tank ist,$V=\sqrt{2 g h}$über die Bernoulli-Gleichung, wo$h$ist der Abstand des Lochs vom Boden. Man sieht, dass ein größerer hydrostatischer Druck zunimmt$V$. Wenn unser Rohr an eine Effizienzpumpe angeschlossen ist$\eta$, mit Power$\dot{W} = \eta Q \Delta P=\eta A_c V \Delta P$, können Sie sehen, wie sich der Druck auswirkt$V$nochmal. Im Allgemeinen können Sie sehen, dass ein größerer Druck am Rohrausgang zu einem größeren führt$V$, wodurch unsere Parabel eine größere Brennweite erhält. Bei kleinerem Druck umgekehrt.

Die konkrete Antwort auf das Wie$V$kommt drauf an$D$Und$P$hängt davon ab, was Ihr System vor dem Rohrausgang enthält.

Ihr letzter "umarmter" Kommentar ist wichtig. Ich werde versuchen, diese Frage qualitativ zu beantworten.

Angenommen, das Wasser besteht aus mikroskopisch kleinen, nicht wechselwirkenden Partikeln (abgesehen von elastischen Stößen), sagen wir mikroskopisch kleinen Sandpartikeln. Alle diese Partikel, die mit einer durchschnittlichen horizontalen Geschwindigkeit aus dem Rohr kommen, folgen (im Mittel) einer parabelförmigen Flugbahn nach unten. Je größer der Rohrdurchmesser ist, desto länger dauert es, bis der Teil des Wassers (modelliert durch die Partikel), der näher am oberen Teil des Rohrs liegt, den Boden erreicht, als der Teil des Wassers, der näher am unteren Teil liegt. Dies ist jedoch eine Konstante und hat keinen Einfluss auf die Form der fallenden Wassermasse. Die Partikel auf der Rohroberseite folgen der gleichen Parabel wie die Partikel auf der Rohrunterseite. Es ist leicht zu erkennen, dass dies zu einer Verformung des anfänglich kreisförmigen Querschnitts des Wassers beim Verlassen des Rohrs führt. in eine Ellipsenform für den Querschnitt beim Auftreffen auf den Boden. Und weil die Teilchen nicht interagieren, gibt es keine Gezeitenkräfte, sodass der Durchmesser (Längsachse) der Ellipse auf dem Boden denselben Wert hat wie der Durchmesser des Anfangskreises. Der Querschnitt des Strahls wird also nicht kleiner, sondern bleibt gleich, weil die Partikeldichte abnimmt (im Gegensatz zu echtem Wasser). Partikel auf der Außenseite der Wassermasse können zwar entweichen, dies hat jedoch einen vernachlässigbaren Effekt. In diesem Fall ist die Form des fallenden (partikelmodellierten) Wasserstrahls also parabolisch und die Form, die der Strahl hat, wenn er auf dem Boden ankommt, ist eine Ellipse. Da es keine Gezeitenkräfte gibt, hat der Durchmesser (Längsachse) der Ellipse am Boden den gleichen Wert wie der Durchmesser des Anfangskreises. Der Querschnitt des Strahls wird also nicht kleiner, sondern bleibt gleich, weil die Partikeldichte abnimmt (im Gegensatz zu echtem Wasser). Partikel auf der Außenseite der Wassermasse können zwar entweichen, dies hat jedoch einen vernachlässigbaren Effekt. In diesem Fall ist die Form des fallenden (partikelmodellierten) Wasserstrahls also parabolisch und die Form, die der Strahl hat, wenn er auf dem Boden ankommt, ist eine Ellipse. Da es keine Gezeitenkräfte gibt, hat der Durchmesser (Längsachse) der Ellipse am Boden den gleichen Wert wie der Durchmesser des Anfangskreises. Der Querschnitt des Strahls wird also nicht kleiner, sondern bleibt gleich, weil die Partikeldichte abnimmt (im Gegensatz zu echtem Wasser). Partikel auf der Außenseite der Wassermasse können zwar entweichen, dies hat jedoch einen vernachlässigbaren Effekt. In diesem Fall ist die Form des fallenden (partikelmodellierten) Wasserstrahls also parabolisch und die Form, die der Strahl hat, wenn er auf dem Boden ankommt, ist eine Ellipse.

Stellen Sie sich nun das Gegenteil vor: Angenommen, das Wasser besteht aus mikroskopisch kleinen Partikeln, die alle durch kleine Fäden aneinander gebunden sind. In diesem Fall gibt es auch eine mittlere Horizontale für das Teilchen, aber abgesehen von den Stößen (die die mittlere parabolische Form der fallenden Wassermasse nicht beeinflussen), ziehen sich die mikroskopisch kleinen Teilchen alle durch die kleinen Federn aneinander , was bedeutet, dass auf die Wassermasse einwirkende Gezeitenkräfte auftreten. Die Partikel entfernen sich nicht weiter voneinander, je länger sie fallen, sodass sich keine Tröpfchen bilden. Aufgrund der Gezeitenkräfte erfahren die unteren Teile der Wassermasse eine Kraft nach oben und treffen folglich später als im ersteren Fall und mit dem gleichen Querschnitt und der gleichen Geschwindigkeit wie der Anfangsquerschnitt und die Anfangsgeschwindigkeit auf dem Boden ein. Es' Das ist so, als würde man eine lange Fahrradkette in horizontaler Richtung abschießen, indem man sie von einem großen, sich ständig drehenden Zahnradblatt in horizontaler Richtung von einem hohen Gebäude abfallen lässt. Es ist offensichtlich, dass die Form der zweiten Wasserart, die horizontal aus einem Rohr austritt, nicht die Form einer Parabel hat (genauso wie die Form der Kette, die horizontal abfällt und dann zu Boden fällt).

Also Gezeitenkräfte, die in Ihrem Fall einer echten fallenden Wassermasse aufgrund der Viskosität des Wassers vorhanden sind . Obwohl die Reynolds-Zahl von Wasser sehr hoch ist, ist die Form fast parabolisch, das heißt nicht parabolisch. Der Querschnitt wird kleiner, wenn der Balken näher am Boden ist (die Wasserdichte ändert sich nicht), hat aber eine minimale Ellipsenform. Außerdem ist die Geschwindigkeit am Boden aufgrund der Gezeitenkräfte etwas geringer als ohne Gezeitenkräfte (oder mit anderen Worten: Viskosität).

Und ein zweiter Effekt kommt ins Spiel. Bei einer bestimmten Geschwindigkeit wird die laminare Strömung des Wassers aufgrund ihrer Viskosität turbulent, wodurch die Form des fallenden Wassers aus dem Rohr abweicht, wodurch die Form des fallenden Wassers abweicht (aufgrund innerer Reibungen im Wasser) a etwas mehr von einer Parabel.

Das From ist also fast eine Parabel, was bedeutet, dass die Form es nicht isteine Parabel, obwohl ich Ihnen die genaue Form nicht sagen kann. Bei der Kette könnte es sich um eine Oberleitung handeln. Ein einfaches Experiment, um zu sehen, dass eine Flüssigkeit mit einer niedrigen Reynolds-Zahl keine parabolische Form erzeugt, wenn Sie einen Strahl des Materials vertikal starten, besteht darin, einen Honigstrahl (niedrige Reynolds-Zahl) und einen Wasserstrahl (hohe Reynolds-Zahl) zu erzeugen ) kommen an der gleichen Art von horizontalem Rohr mit der gleichen Geschwindigkeit heraus und vergleichen die beiden Punkte auf dem Boden (bevor sich die Flüssigkeit mit der hohen Reynolds-Zahl auflöst), wo sie ankommen. Je "mehr" parabolisch (höhere Reynolds-Zahl), desto weiter trifft der Strahl auf dem Boden auf (gemessen als horizontaler Abstand zwischen dem Rohrausgang und der Auftreffstelle auf dem Boden). Es wird schwieriger sein, die endgültigen Querschnitte des Trägers zu vergleichen.

Noch einfacher. Ich werde das Koordinatensystem und die Symbole von @Drew verwenden.

Ein Massenelement verlässt die Düse bei$t=0$, Geschwindigkeit$V$.

Unmittelbar hat es zwei Geschwindigkeitskomponenten,$V_x$Und$V_y$, woraus sich die zeitlichen Koordinaten berechnen lassen:

$$V_x=V \Rightarrow x=Vt$$ Und aufgrund der Schwerkraft: $$V_y=gt \Rightarrow y=\frac12 gt^2$$ Extrakt$t$:

$$\Rightarrow t=\frac{x}{V}$$

Ersatz:

$$\Rightarrow y=g\frac{x^2}{2V^2}$$

Wir haben eine Parabel, wie die einer horizontal abgefeuerten Kugel (zB)

Was ist nun, wenn die Düse wie im Fall von OP nicht horizontal, sondern in einem Winkel zur Horizontalen von steht?$\theta$?

In diesem Fall zerlegen wir$V$in seine horizontalen und vertikalen Komponenten$V_x$Und$V_y$:

$$V_x=V\cos\theta$$ $$V_y=V\sin\theta +gt$$

Gehen Sie dann wie oben vor.