Äquivalente "kapazitive Reaktanz" zur Berechnung des Effektivstroms bei gemischtfrequenter Wechselspannungswellenform

Ich möchte eine sehr einfache Schaltung analysieren, die einer nicht so einfachen treibenden Wechselspannungswellenform unterliegt. Insbesondere besteht meine Schaltung einfach aus einem einzigen Kondensator mit Kapazität C und eine Wechselspannungsquelle v . Nun, wenn v arbeiteten mit einer festen Kreisfrequenz ω , dann könnte ich die kapazitive Reaktanz berechnen X C ganz einfach so:

X C ( ω ) = 1 ω C

Was ist jedoch, wenn meine Spannungsquellenwellenform aus einer Mischung von Frequenzen besteht, die durch eine Spektraldichtefunktion gegeben sind, dh Fourier-Transformation):

F ( ω ) : ∫ 0 ∞ F ( ω ) D ω = 1

Frage : Ich habe mich gefragt, ob es einen Weg gibt, eine "äquivalente kapazitive Reaktanz" zu erhalten. X C , e Q ich v so dass:

ICH R M S = v R M S X C , e Q ich v

??

Meine erste Reaktion ist die X C ( ω ) ist über die Frequenzen additiv, und so erhalten wir das Funktional:

X C , e Q u ich v = ∫ 0 ∞ F ( ω ) ω C D ω

Mit der Vorgabe, dass

lim T → 0 F ( T ) T < ∞

um sicherzustellen, dass das uneigentliche Integral konvergiert.

Wenn F ( 0 ) = 0 dann können wir die L'Hospital-Regel verwenden, um dies zu verstärken:

F ' ( 0 ) < ∞

Frage: Ist dies der richtige Ansatz, um zu bekommen X C für Mischfrequenzschaltungen?

Antwort auf Andy aka Kommentar

Andy hat ein bestimmtes Szenario angefordert. Unten ist ein Beispiel für ein Setup, das ich analysiere:

schematisch

Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan

Die Wellenform der Spannungsquelle v ( T ) hat die folgende Fourier-Transformation im Frequenzbereich ( F in kHz):

S ( F ) = e − 1 2 Protokoll 2 ⁡ ( F ) 2 π F

Ich werde den Strom am angegebenen Punkt überwachen und den Effektivwert der resultierenden Stromwellenform berechnen.

Das ist ein ziemlich typisches Setup, obwohl sich die spezifischen Werte ändern werden oder ich eine andere Verteilung über die Frequenzen verwenden kann.

Um deine Frage zu verdeutlichen, nimm den einfachen Fall wo F ( ω ) besteht aus zwei diskreten Sinuskurven bei, sagen wir, ω 1 Und ω 2 , das gibt zwei Werte von X C . Inwiefern würden sich diese beiden Reaktanzwerte addieren? Mit anderen Worten, was würde X C ( F ) aussehen?
@Chu in diesem Fall, F ( ω ) hätte die Form F ( ω ) = a 1 ( ω ) ω 1 + ( 1 − a ) 1 ( ω ) ω 2 Wo 0 ≤ a ≤ 1 und die resultierende Kapazität wäre X C ( F ) = a X C ( ω 1 ) + ( 1 − a ) X C ( ω 2 )
@Chu ah, vielen Dank. Ja, ich habe mich gefragt, wo Additivität ins Spiel kommt. Ich hatte gehofft, eine komplexe Situation, wie ich sie beschreibe, in eine "rms-äquivalente" Schaltung reduzieren zu können, die von einer Wechselspannung mit einer Frequenz und einer gewissen Kapazität angetrieben wird. Aus Ihren und Andys Kommentaren geht hervor, dass diese Integration am tatsächlichen Effektivwert selbst und nicht an der zugrunde liegenden Reaktanz erfolgen muss (dh möglicherweise kein Analogon von Thevenins Theorem für Gleichstromkreise für diese Situation).
@Chu wo ist dein Kommentar hingegangen? Es war hilfreich.
@Bey Ihr Amperemeter wird nichts beobachten, wenn es nicht in Reihe mit dem Strom liegt, den Sie messen möchten.
@Captainj2001 Danke ... Ich bin kein Elektroingenieur (angewandte / technische Mathematik), also habe ich dies als Überwachungspunkt geschrieben ... Ich werde es korrigieren.

Antworten (2)

Da Sie nun eine zu analysierende Schaltung angegeben haben, schauen wir uns die normale Analysemethode unter Verwendung von Übertragungsfunktionen an. Die normale Analysemethode für diesen Schaltungstyp heißt Übertragungsfunktionsanalyse, dh die Ermittlung der Abhängigkeit des Ausgangsstroms, den ich als über dem Kondensator annehmen werde, von der Eingangsspannung. Das heißt, die Übertragungsfunktion ist definiert durch:

H ( J ω ) = ICH Ö u T ( J ω ) v ich N ( J ω )   ( S )
Für die angegebene Schaltung ergibt sich die Spannungs-> Strom-Übertragungsfunktion (mit Einheiten von Siemens) von:
ICH Ö u T ( J ω ) = v ich N ( J ω ) 1 J ω C = J ω C v ich N ( J ω ) H ( J ω ) = J ω C
Da Sie entschieden haben, dass die Eingabehäufigkeitsverteilung logarithmisch verteilt sein wird:
v ich N ( J ω ) = e − 1 2 Protokoll 2 ⁡ ( J ω ) J ω 2 π
ICH Ö u T ( J ω ) = H ( J ω ) v ich N ( J ω ) = e − 1 2 Protokoll 2 ⁡ ( J ω ) J ω 2 π ⋅ J ω C = C e − 1 2 Protokoll 2 ⁡ ( J ω ) 2 π
Wenn Sie sehen möchten, wie diese Antwort im Zeitbereich aussieht, können Sie den Echtzeitbereichsstrom ermitteln, indem Sie die inverse Fourier-Transformation verwenden:
ICH Ö u T ( T ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ICH Ö u T ( J ω ) e J ω T D ω
Die an die Fourier-Transformation angehängte Konstante hängt davon ab, welche "Form" der Transformation Sie verwenden. Typischerweise werden wir in EE die Konstante an die inverse Transformation anhängen.

Danke schön! Ich habe versucht, die Verteilung des Stroms herauszufinden, wenn die Spannungsquelle weißes Rauschen (Gauß) wäre. Es sieht also so aus, als gäbe es keine einfache "Thevenin-äquivalente" Schaltung, die mit fester Frequenz arbeitet (was ich in meinem Beitrag angenommen habe).
Insbesondere hatte ich gehofft, dass ich meine "äquivalente Reaktanz" berechnen könnte. X C ( F ) und erhalten Sie den Effektivstrom als ICH R M S = v R M S X C ( F )
@Bey Sie können Thevenin-Ersatzschaltbilder im Frequenzbereich mit derselben Methode berechnen, dh den Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung zwischen zwei Knoten ermitteln. Ihr Thevenin-Ersatzschaltbild hat nur eine komplexe Impedanz anstelle eines echten Widerstands.
Danke noch einmal! Wenn ich also meine Effektivspannung kenne, kann ich eine äquivalente Kapazität berechnen, wie in meinem vorherigen Kommentar angedeutet (beachten Sie, dass ich eine neue Frage zu diesem Thema erstellt habe: electronic.stackexchange.com/questions/243674/… )

Meine erste Reaktion ist, dass Xc(ω) über die Frequenzen hinweg additiv ist

Nehmen Sie den Fall eines einfachen Kondensators von 1 uF bei 1 kHz - er hat eine Reaktanz von 159 Ohm. So einfach ist das.

Ja, es hat eine Reaktanz von 15,9 Ohm bei 10 kHz, aber niemand sagt weiter, dass die Reaktanz 159 Ohm parallel (oder in Reihe) mit 15,9 Ohm beträgt. Wenn Sie dies tun, verfehlen Sie den Kernpunkt.

Danke, aber ich interessiere mich für die Reaktion meiner einfachen Schaltung auf ein Mischfrequenzsignal. Also ja, ich kann punktuell über seine Reaktanz sprechen, aber meine Schaltung reagiert auf die bestimmte Mischung von Frequenzen. Was ist zum Beispiel der Effektivstrom der obigen Schaltung, wenn die AC-Spektraldichte beispielsweise eine lognormale (0,1) -Verteilung aufweist?
Sie übersehen den Punkt, an dem Sie glauben, Sie könnten Reaktanzen bei verschiedenen Frequenzen hinzufügen, und ich werde kein hypothetisches Beispiel geben, um die Nutzlosigkeit Ihres Glaubens zu beweisen, dass das Hinzufügen von Reaktanzen irgendwie in irgendeiner Weise von Bedeutung ist.
Sehen Sie, ich versuche, die Reaktion dieser einfachen Schaltung auf einen Mischfrequenzeingang zu verstehen. Meine erste Vermutung ist die oben genannte. Ich behaupte nicht, dass dies richtig ist. Das ist meine Frage, und ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie auf die richtige Art und Weise hinweisen könnten, darüber nachzudenken. Ein konkretes Beispiel ist die Berechnung des resultierenden Effektivstroms der Schaltung bei gegebener Eingangswellenform.
Ich denke, eine breitere (zu breite, denke ich) Frage ist, wie das Schaltungsverhalten analysiert wird, wenn es von etwas anderem als einer schönen Sinuswellenspannung angesteuert wird.
Zeichnen/beschreiben Sie eine Schaltung und geben Sie die Eingangswellenform an. Geben Sie dann das Signal an, das Sie "verstehen" möchten, das von einer reaktiven Komponente erzeugt wurde, die die Eingangswellenform umformt. Es ist unmöglich, ein Konzept zu verallgemeinern, von dem ich glaube, dass Sie den Punkt verfehlen.
Ok, ich habe ein bestimmtes Setup hinzugefügt, um zu zeigen, was ich zu erreichen versuche. Hoffentlich hilft das. Vielen Dank für alle Hinweise, die Sie geben können.
Äquivalente "kapazitive Reaktanz" zur Berechnung des Effektivstroms bei gemischtfrequenter Wechselspannungswellenform
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