Warum komplexe Zahlen verwenden, um Amplitude und Phase von AC darzustellen?

Zitat: "Ist es rein mathematisch gesehen, um die Analyse von Schaltungen zu erleichtern?"

Ich bin mir nicht sicher, ob dieser Teil der Frage bereits ausreichend beantwortet wurde. Deshalb: Ja - die Verwendung komplexer Mathematik zur Beschreibung von Sinussignalen hat keine direkte physikalische Relevanz. Es soll lediglich "Analysen erleichtern".

Als Beispiel: Die Einführung von Eulers berühmter Formel für Sinussignale in die Fourier-Reihe führt zu negativen Frequenzen (symmetrisch zu positiven Frequenzen). Daher stellt sich die Frage: Gibt es negative Frequenzen in der Realität? Die Antwort ist nein! Es ist nur ein hilfreiches mathematisches Werkzeug.

Eigentlich ist die Motivation ganz einfach.

Wenn Sie einen linearen Schaltkreis haben und ihn mit nur einer Frequenz stimulieren, werden Sie, wohin Sie auch schauen, immer dieselbe Frequenz finden, nur die Amplitude und die Phase der gemessenen Welle ändern sich.

Was Sie dann tun, ist zu sagen, vergessen wir die Frequenz. Wenn ich die Amplitude und Phase von Spannungen und / oder Strömen in der Schaltung verfolge, ist dies mehr als genug. Aber wie können Sie das tun? Gibt es kein mathematisches Werkzeug, mit dem Sie Amplitude und Phase verfolgen können? Ja, Sie haben es: Vektoren. Ein Vektor hat eine Amplitude, d. h. seine Länge, und eine Phase, d. h. den Winkel, den er mit der x-Achse bildet, die Richtung im Uhrzeigersinn ist positiv.

Jetzt können Sie widersprechen, ok Vektoren sind cool, aber ist nicht irgendetwas cooler? Und warum müssen wir die imaginäre Einheit verwenden?

Die Antwort auf die zweite Frage ist einfach: Berechnungen mit Vektoren sind ziemlich mühsam, ein Notationsschmerz:

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

Und das ist allein der Zusatz! Nun, das ist nur ein Notationsproblem, wenn wir eine andere Basis von wählen$\mathbb{R}^2$Dinge können besser sein ... Und diese Basis existiert zufällig, erfordert aber die imaginäre Einheit$j$. Das vorherige Chaos wird zu:

$$2+3j+1+7j=3+10j$$ Viel einfacher, oder?

Ok, aber was hat ein imaginärer Vektor mit einer Spannung gemeinsam? Nun versuchen Sie sich die Gauß-Ebene vorzustellen, die x-Achse ist die reelle Achse, die y-Achse ist die imaginäre.

Eine Spannung kann durch einen um den Ursprung zentrierten Vektor dargestellt werden, dessen Länge gleich dem Spannungswert ist und dessen Startwinkel gleich der Phase ist. Jetzt der Zaubertrick: Drehen Sie den Vektor so, dass seine Winkelgeschwindigkeit erreicht wird$\omega$entspricht der gewünschten Frequenz:

Bam. Das nennen wir einen Phasor , und dieser kleine Kerl ist die stärkste Waffe, die Sie gegen harte Rennstrecken haben.

Warum sind diese Phasoren etwas Besonderes? Das liegt daran, wenn Sie zwei echte Spannungen nehmen:

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$ und Sie wollen sie summieren, kommt es vor, dass, wenn Sie die entsprechenden Zeiger summieren und dann in den reellen Bereich zurückkehren, das Ergebnis dasselbe ist . Das ist natürlich keine Zauberei, es hängt von der mathematischen Affinität zwischen Kosinuskurven und der komplexen Exponentialfunktion ab . Glauben Sie mir einfach, oder glauben Sie diesem coolen Bild:

Und das Beste ist, dass die gesamte Analyse realer Schaltungen, die Sie bisher studiert haben, weiterhin mit Zeigern und komplexen Impedanzen arbeitet. Das heißt: Das Ohmsche Gesetz gilt mit Phasoren und komplexen Impedanzen , und das ist großartig, da wir eine Menge Werkzeuge haben, um Schaltungen zu lösen, die auf den Gesetzen von Ohm und Kirchhoff basieren, und wir können sie immer noch verwenden.

Mit Phasoren ist das Ableiten/Integrieren auch super einfach: Wie Sie wissen, ist es nur eine Frage der Phasenverschiebung , da wir von Sinus und Cosinus sprechen, die alle dieselbe Frequenz haben, und das - Überraschung - ist sehr klar, wenn Sie die verwenden komplexe Exponentialdarstellung.

TL;DR: Sinuskurven werden als rotierende Vektoren auf der Polarebene dargestellt, es ist so ziemlich so, als würde man die Zeit anhalten, während sie sich drehen und ein Foto machen, dh Phasen- und Amplitudenbeziehungen berechnen. Schauen Sie sich einfach die Phasor -Seite auf Wikipedia an. Und überprüfen Sie auch diese andere prägnantere Antwort.

Angenommen, wir haben eine einfache Schaltung mit einer Spannungsquelle$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$in Reihe geschaltet mit einer Induktionsspule mit Induktivität$L$. Dann,

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

Was kauft uns das? Nun, wir können die Spule einfach als Widerstand mit Wert behandeln$j\omega L$Dann könnten wir ersetzen$v(t)$mit der Konstante$v_o = Ve^{j\phi}$. In dieser vereinfachten Schaltung verwenden wir das Ohmsche Gesetz, um zu finden$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$. Dann, um den tatsächlichen Wert von zu finden$i(t)$wir multiplizieren einfach$i_o$mit$e^{j\omega t}$und nehme seinen echten Teil. Dies kann auf alle passiven Komponenten ausgedehnt werden. Daher können wir alle Wechselgrößen mit komplexen Zahlen modellieren und dabei alle Berechnungen vereinfachen. Wir können sie dann jederzeit wieder in ihre nicht komplexe Form zurückverwandeln.

Ich gehe davon aus, dass wir uns einig sind, dass es sich um zwei Informationen handelt, die ein Wechselstromsignal zu jedem Zeitpunkt darstellen, Amplitude und Phase, während es sich bei Gleichstrom nur um eine Amplitude handelt.

Es ist nicht nur die Analyse, wo wir Informationen manipulieren müssen, sondern auch das Design von Schaltkreisen. Komponenten haben eine Impedanz und bewirken AC-Signale. Wenn wir also entwerfen, müssen wir in der Lage sein, Impedanzen zu berechnen, um eine Schaltung mit spezifischen AC-Eigenschaften zu entwerfen.

Komplexe Zahlen sind praktisch, um sowohl AC-Signale als auch Impedanzen darzustellen und zu berechnen. Die beiden Dimensionen Länge und Winkel ermöglichen es uns, Amplitude und Phase zusammen zu berechnen und konsistent zu halten.

Die Hauptsache ist, dass jedes periodische Signal (mit einigen grundlegenden analytischen Einschränkungen, die entweder in der Praxis gelten oder bis zu einem beliebigen Grad, wenn nicht exakt, gelten) als Summe von Sinus- und Kosinussignalen mit einer Frequenz dargestellt werden kann, die ein Vielfaches von ist die Periode des Signals.

Sobald Sie die Herrschaft der direkten Reaktion (wie Widerstände) verlassen, kann Energie gespeichert und abgerufen werden. Spulen speichern magnetische Energie (Spannung anlegen und Strom beginnt erst allmählich, läuft aber weiter, wenn die Spannung zusammenbricht), Kondensatoren speichern elektrische Energie (Strom anlegen und Spannung beginnt erst allmählich, läuft aber weiter, wenn der Strom zusammenbricht), Massen wandeln Kraft allmählich in Impuls um , Federn wandeln Impuls allmählich in Kraft um und so weiter.

Viele Formen von Macht sind im Grunde das Quadrat eines Erregungsmaßes. Nun stellt sich heraus, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus desselben Arguments 1 ist. Eine Konstante. Du beschreibst also sehr gut die periodische Umwandlung von Energie mit Sinus und Cosinus.

Es stellt sich heraus, dass die Algebra, die Sinus und Cosinus verwendet, dürftig ist. Wenn Sie einen imaginären Term hinzufügen, der die Energieform Ihres periodischen Signals darstellt, an dem Sie nicht interessiert sind, und den imaginären Teil wegwerfen, nachdem Sie fertig sind, werden die algebraischen Manipulationen auf Kosten der Komplexität der tatsächlichen Variablen viel einfacher .