Allgemeine Definition des stationären Zustands

Einfach ausgedrückt ist der stationäre Zustand ein punktuelles Phänomen, kein globales Systemphänomen. Um Ihre Frage zu beantworten, werde ich ein Beispiel für ein stationäres System geben$\partial p / \partial t = 0$Aber$d p / d t \neq = 0.$

Denken Sie an einen horizontalen Flüssigkeitsstrom auf dem$x$-Achse fließt in die$+x$Richtung. Angenommen, die Geschwindigkeit der Flüssigkeit kann sich an verschiedenen Punkten entlang des Stroms ändern, ebenso wie die Breite des Stroms, aber an jedem beliebigen Punkt entlang des Stroms$x$Achse, die Geschwindigkeit und die Breite bleiben zeitlich konstant. Dies ist ein stationäres System – wenn ich den Strom zur Zeit fotografiere$t = 0s$und mache zwischendurch nochmal ein Foto$t = 10 s$, sehen die beiden Bilder identisch aus. In diesem Zeitintervall mag ein großes Flüssigkeitsvolumen durch jeden Punkt im Strom geflossen sein, aber das System als Ganzes sieht genauso aus wie vor zehn Sekunden.

Lassen$v(x, t)$sei die Geschwindigkeit des Stroms bei einem gegebenen Wert$x$Stellung und$w(x, t)$seine Breite sein. Der lose Begriff des „stationären Zustands“, den wir oben angegeben haben, wird wie folgt strenger ausgedrückt:

Dieser Strom befindet sich zu jedem beliebigen Zeitpunkt in einem stationären Zustand$x$im Stream die interessierenden Mengen$w(x, t)$Und$v(x, t)$sind mit der Zeit unveränderlich.

Da fixieren wir einen Punkt$x$im Stream ist das obige gleichbedeutend mit anspruchsvoll$\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial t} = 0.$

Die Gesamtableitungen dürfen nirgendwo Null sein. Wir haben zum Beispiel

Wenn der Geschwindigkeitsgradient$\partial v / \partial x$nicht Null ist, und die Geschwindigkeit$d x / d t$an einem gegebenen Punkt ungleich Null ist, dann die Gesamtableitung$dv / dt$ist ungleich Null. Das heißt, wenn ich ein einzelnes Teilchen der Flüssigkeit betrachte, ändert sich natürlich seine Geschwindigkeit mit der Zeit. Es bewegt sich entlang des Stroms, und die Geschwindigkeit ändert sich an verschiedenen Stellen im Strom.

Aber an jedem gegebenen Punkt ist die Geschwindigkeit aller Teilchen, die diesen Punkt passieren, für alle Zeiten konstant. Das ist mit „Steady State“ gemeint.

Diese Diskussion fühlt sich vertraut an; Ich denke, diese Frage ist eine Fortsetzung einiger Kommentare zu einer Antwort, die ich auf eine Ihrer vorherigen Fragen gegeben habe . Speziell:

danke für die tolle antwort. Obwohl ich sagen muss, dass ich Steady State hier etwas verwirrend finde, da dies in der Fließmechanik normalerweise bedeutet$∂_t v=0$aber ich vermute, Sie meinen einen stabilen Massenzustand? So$\frac{dM}{dt}=0$Rechts ? – Pindakaas 25. November um 10:33 Uhr

Meine Antwort:

@pindakaas - im stationären Zustand verschwinden Ableitungen jederzeit, dh$\partial_t\rho=0$Und$\partial_t \boldsymbol{v}=0$. Die Implikation ist, dass die Dichte konstant ist und durch die Kontinuitätsgleichung$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v}=0$. Der Begriff

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot[\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{\nabla}\cdot[\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{v}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v})+\rho(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v}$$ unter Verwendung der in meiner Antwort angegebenen Identität. – nluigi 25. November um 10:55 Uhr

und mit dir zum schluss:

Ich glaube nicht, dass ich mich klar ausdrücke. Es genügt, Massenerhaltung anzunehmen. Vorausgesetzt$\partial_t \rho=0$und die Annahme einer Inkompressibilität ist einfach nicht notwendig. – Pindakaas 25. November um 18:11 Uhr

Zu der Zeit habe ich nicht wirklich verstanden, wovon Sie sprachen (auch nach unserem Gespräch im Chat), aber ich habe es gelassen, weil ich dachte, wir sprachen über dasselbe, nur aus verschiedenen Perspektiven. Aber diese Frage hier bestätigt meine Vermutung, dass wir tatsächlich nicht über dasselbe sprachen. Hoffentlich kann ich es jetzt klären.

Betrachten Sie eine Erhaltungsgröße$\theta=f\left(t,\boldsymbol{r}\right)$(Wo$\theta$könnte sein$\rho$oder$\boldsymbol{v}$), ist seine Gesamtableitung ( in der Kontinuumsmechanik oft als materielle Ableitung bezeichnet) per Definition:

Wenn ein stationärer Zustand definiert ist durch${\mathrm{D}\theta \over \mathrm{D}t} =0$dann neben der Zeitabhängigkeit auch den konvektiven Fluss der Größe$\theta$durch die Geschwindigkeit$\boldsymbol{v}$ist verloren. Offensichtlich ist dies auf einem Gebiet wie der Fluiddynamik kontraproduktiv. Stattdessen implizieren wir mit stationärem Zustand, dass sich alle relevanten Größen nicht mit der Zeit ändern, dh${\partial\theta \over \partial t}=0$. Nun mag es den Anschein haben, dass einige Begriffe (z$\boldsymbol{v}$) kann immer noch zeitabhängig sein, aber mit einem Beispiel werde ich zeigen, dass dies nicht der Fall ist.

Betrachten Sie die Kontinuitäts- und Navier-Stokes-Gleichungen, die gleichzeitig in der Fluiddynamik gelöst werden müssen:

Im stationären Zustand sagen wir, dass sich keine Mengen mit der Zeit ändern, dh$\partial_t \rho=0$Und$\partial_t \boldsymbol{v}=0$so dass$\rho\neq f\left(t\right)$Und$\boldsymbol{v} \neq f\left(t\right)$:

Ein stetiger Fluss bedeutet nicht, dass keine Zeit vorhanden ist; Wenn Sie eine Simulation einer stetigen Strömung durchführen und Tracer-Partikel in die Strömung freisetzen, bewegen sich die Partikel in nachfolgenden Zeitintervallen entlang der Stromlinien der Strömung. Die Tatsache, dass die Strömung konstant ist, bedeutet nur, dass sich die Stromlinien nicht mit der Zeit ändern, nicht dass die$\boldsymbol{v}=0$.

Wikipedia ist für Mathematik und Naturwissenschaften völlig unzuverlässig. Sie haben Recht, dass das Gesamtdifferential Null sein muss, nicht die partielle Ableitung. Das ist einfach gesunder Menschenverstand und hat nichts mit Transport oder irgendetwas Bestimmtem zu tun, wie Khwarazmi betont.