Alternative Formulierung der kinetischen Energie für Lagrange

Question

Alternative Formulierung der kinetischen Energie für Lagrange

Joel

Daher habe ich eine Frage zu diesem System:

Es soll ein einfaches Modell eines Flugzeugs sein, dessen Rumpf als konzentrierte Masse idealisiert ist $M_0$ und die Flügel, die als starre Stangen modelliert sind, die Gewichte am Ende der Masse tragen $M$ . Die Nachgiebigkeit der Flügel wird mit Federn mit Torsionssteifigkeit modelliert $k_t$ .

Der Rumpf lässt sich frei in die übersetzen $x$ Richtung, während die kleine Masse um die größere Masse in der rotiert $\theta$ Richtung. Man kann die Bewegungsgleichungen des Systems mit der Lagrange-Gleichung mit herleiten $x$ Und $\theta$ als verallgemeinerte Koordinaten.

Eine Möglichkeit, die kinetische Energie der kleinen Masse abzuleiten ( $K_m$ ) besteht darin, die Geschwindigkeit davon zu erhalten ( $\dot{x}_m$ ) als Funktion der Geschwindigkeit der größeren Masse ( $\dot{x}$ ) und die Winkelgeschwindigkeit ( $\dot{\theta}$ ).

{\dot{X}}_{M} = \dot{X} + l \dot{θ} K_{M} = \frac{1}{2} M {\dot{X}}_{M}^{2} = \frac{1}{2} M ({\dot{X}}^{2} + 2 l \dot{X} \dot{θ} + l^{2} {\dot{θ}}^{2})

$\dot{x}_m = \dot{x} + l\dot{\theta}\\ K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}_m^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta} + l^2\dot{\theta}^2)$

Wenn man jedoch die Definition der kinetischen Energie eines starren Körpers verwenden würde $B$ Rotation um einen beweglichen Punkt $C$ im Trägheitsrahmen $F$ (siehe Anmerkung 1 unten), das heißt:

K_{B} = \frac{1}{2} M_{B} {\dot{X}}_{C}^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{B} {\dot{θ}}_{B}^{2}

$K_B = \frac{1}{2}m_B\dot{x}_C^2 + \frac{1}{2}I_B\dot{\theta}_B^2$

Angewandt auf diese Frage ist die kinetische Energie der kleinen Masse:

K_{M} = \frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} {ICH}_{M} {\dot{θ}}^{2} = \frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} (M l^{2}) {\dot{θ}}^{2} = \frac{1}{2} M ({\dot{X}}^{2} + l^{2} {\dot{θ}}^{2})

$K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I_m\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}(Ml^2)\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + l^2\dot{\theta}^2)$

Es scheint, dass die durch die 2 Methoden abgeleitete kinetische Energie zu 2 unterschiedlichen Ausdrücken führt. Die richtige Antwort meiner Schule ist die erstere. Was aber fehlt beim zweiten Ansatz, der zum Unterschied führt?

Anmerkung 1: Diese Definition stammt aus „Introduction to Structural Dynamics and Aeroelasticity“ von Hodges und Pierce. Die Definition findet sich auch häufig in anderen Physik-Lehrbüchern wie „Introduction to Classical Mechanics“ von D. Morin.

David z

Hallo Joel und willkommen bei Physics Stack Exchange! Hervorragende Frage :-) (die Art, auf die ich anderen Postern als Beispiel verweisen würde, wie eine gute Frage aussehen sollte!) Um einige mögliche Einwände abzuwehren: wo ist Ihr zweiter Ausdruck (

K_{B}

$K_B$ ) komme aus?

Joel

Hallo danke! Ich habe die Frage aktualisiert. Hoffe auf baldige Antworten :)

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Frage an den Fragesteller: Unterscheidet sich die Bewegungsgleichung? Verwandte Frage auf der Website: physical.stackexchange.com/q/50075

FraSchelle

@dmckee Ich glaube nicht, da der Differenzterm keine Gesamtableitung ist. Übrigens, zum OP scheint es mir die Position des Punktes zu sein

M

$M$ Ist

x_{M} = x + l \sin θ

$x_{M}=x+l\sin\theta$ und so sind Ihre Ausdrucksformen im Kleinen

θ

$\theta$ Grenze. Ich vermute den Rumpf

M_{0}

$M_{0}$ ein Punkt sein. Die Kleinwinkelnäherung ist offensichtlich in Ordnung, aber es ist auch klar, dass Ihr Ausdruck für die Zentrifugalkraft ist

I_{B} {\dot{θ_{B}}}^{2} / 2

$I_{B}\dot{\theta_{B}}^{2}/2$ ist in der Tat für alle Winkel korrekt (habe ich recht?). Es ist also noch rätselhafter. Beachten Sie, dass leider nicht alle Ihre Schreibweisen definiert sind: alle B-, C-Variablen, ...

FraSchelle

Ah ok, ich glaube, ich fange an, das Problem zu verstehen. Mit größerer Sicherheit ist keine der oben genannten kinetischen Energien korrekt, da das Problem aufgrund der Rotation keine Galilei-Invariante ist und Sie daher den Nicht-Trägheitseffekt von Hand hinzufügen müssen. Der einfachste Weg, etwas zu finden, das man als kinetische Energie bezeichnen könnte, wäre, die Bewegungsgleichung zu schreiben, dann eine Lagrange- und/oder Hamilton-Funktion daraus abzuleiten und die kinetische Energie zu identifizieren, wenn Sie können.

QuantumBrick

Irgendetwas stimmt mit deiner zweiten Formel nicht. Es ist so geschrieben, dass die Winkelgeschwindigkeit der Rotation irgendwie nicht von der Geschwindigkeit des umlaufenden Punktes abhängt. Ich finde das absurd. Als Beispiel kann ich mir vorstellen, dass der Umlaufpunkt eine bestimmte Geschwindigkeit hat, die erzwingen würde

θ

$\theta$ konstant sein. Sie sind im Wesentlichen miteinander verbunden und die zweite Formel liefert diese Verbindung nicht.

Antworten (1)

Alternative Formulierung der kinetischen Energie für Lagrange

Hallo Joel und willkommen bei Physics Stack Exchange! Hervorragende Frage :-) (die Art, auf die ich anderen Postern als Beispiel verweisen würde, wie eine gute Frage aussehen sollte!) Um einige mögliche Einwände abzuwehren: wo ist Ihr zweiter Ausdruck ( $K_B$ ) komme aus?
Hallo danke! Ich habe die Frage aktualisiert. Hoffe auf baldige Antworten :)
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@dmckee Ich glaube nicht, da der Differenzterm keine Gesamtableitung ist. Übrigens, zum OP scheint es mir die Position des Punktes zu sein $M$ Ist $x_{M}=x+l\sin\theta$ und so sind Ihre Ausdrucksformen im Kleinen $\theta$ Grenze. Ich vermute den Rumpf $M_{0}$ ein Punkt sein. Die Kleinwinkelnäherung ist offensichtlich in Ordnung, aber es ist auch klar, dass Ihr Ausdruck für die Zentrifugalkraft ist $I_{B}\dot{\theta_{B}}^{2}/2$ ist in der Tat für alle Winkel korrekt (habe ich recht?). Es ist also noch rätselhafter. Beachten Sie, dass leider nicht alle Ihre Schreibweisen definiert sind: alle B-, C-Variablen, ...
Ah ok, ich glaube, ich fange an, das Problem zu verstehen. Mit größerer Sicherheit ist keine der oben genannten kinetischen Energien korrekt, da das Problem aufgrund der Rotation keine Galilei-Invariante ist und Sie daher den Nicht-Trägheitseffekt von Hand hinzufügen müssen. Der einfachste Weg, etwas zu finden, das man als kinetische Energie bezeichnen könnte, wäre, die Bewegungsgleichung zu schreiben, dann eine Lagrange- und/oder Hamilton-Funktion daraus abzuleiten und die kinetische Energie zu identifizieren, wenn Sie können.
Irgendetwas stimmt mit deiner zweiten Formel nicht. Es ist so geschrieben, dass die Winkelgeschwindigkeit der Rotation irgendwie nicht von der Geschwindigkeit des umlaufenden Punktes abhängt. Ich finde das absurd. Als Beispiel kann ich mir vorstellen, dass der Umlaufpunkt eine bestimmte Geschwindigkeit hat, die erzwingen würde $\theta$ konstant sein. Sie sind im Wesentlichen miteinander verbunden und die zweite Formel liefert diese Verbindung nicht.

Michael Momayezi · Answer 1

Die Inkonsistenz entsteht, weil die Norm des Geschwindigkeitsvektors falsch berechnet wird.

Die Formel für die kinetische Energie lautet $T=\frac{1}{2}m\cdot \overrightarrow{{v}}^2$ .

Jetzt für kleine Werte von $\theta$ die Bewegung der Masse M ist kollinear mit der Richtung der x-Achse. In diesem Fall $\overrightarrow{v}=[v_x, v_y, v_z] = [\dot{x}+l\dot{\theta}, 0, 0]$ ist eine gute Annäherung und die erste Formel des OP für $K_m$ ist in dieser Näherung richtig.

Für die zweite Form des OP's $K_m$ Formel, die sie hinzufügen $\dot{x}$ Und $l\dot{\theta}$ quadratisch, was nur richtig ist, wenn die beiden jeweiligen Vektoren orthogonal zueinander sind. Zum Beispiel wäre es ungefähr richtig bei $\theta\approx \pi/2$ .

Für das vorliegende Problem das erste $K_m$ Formel ist richtig.

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Joel

David z

Joel

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

FraSchelle

FraSchelle

QuantumBrick

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