Analysieren einer Operationsverstärkerschaltung (Übertragungsfunktion), die nicht den Grundfällen entspricht

An der folgenden Schaltung möchte ich herausfinden, was es tut und im Grunde seine Übertragungsfunktion. Ich habe viel gesucht, aber ich habe keine Schaltung wie diese gefunden. Da es mit keinem der Grundtypen von Operationsverstärkerschaltungen (invertierender oder nicht invertierender Verstärker) übereinstimmt, weiß ich nicht, wo ich anfangen soll. Schließlich weiß jemand, wie diese Schaltung heißt? Bitte beachten Sie, dass dies keine Hausaufgabe ist.

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Nach der Methode von Lorenzo Donati bin ich zu diesem Punkt für die Übertragungsfunktion gekommen:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

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Sie können die Übertragungsfunktion bestimmen H ( S ) der Schaltungsüberlegung zu folgender Schaltung:

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und denken an v 1 Und v 2 als zwei unabhängige Eingänge. Da die Schaltung eine lineare Überlagerung ist, gilt auch der Ausgang (in der S-Domäne) der Schaltung, wenn v 2 ausgeschaltet ist, ist einfach das eines invertierenden Verstärkers ( R 3 schließt den nicht invertierenden Eingang gegen Masse kurz, unter der Annahme eines idealen Operationsverstärkers):

v Ö u T 1 = − R 2 R 1 v 1

Analog wann v 1 ausgeschaltet ist, wirkt die Schaltung als nicht invertierender Verstärker, dessen Eingang durch die Serie gefiltert wird C − R 3 . Wenn Sie also die Formel für die nicht invertierende Verstärkerverstärkung und die Formel für den Spannungsteiler anwenden, erhalten Sie:

v Ö u T 2 = ( 1 + R 2 R 1 ) R 3 R 3 + 1 C S v 2

Die vollständige Antwort ist die Summe der beiden oben genannten:

v Ö u T = v Ö u T 1 + v Ö u T 2 = − R 2 R 1 v 1 + ( 1 + R 2 R 1 ) R 3 R 3 + 1 C S v 2

Ihre Schaltung ist wie die, die ich gepostet habe, aber mit v 1 = v 2 , daher lautet die vollständige Antwort:

v Ö u T = v ich N ⋅ [ − R 2 R 1 + ( 1 + R 2 R 1 ) R 3 R 3 + 1 C S ]

von denen Sie bekommen:

H ( S ) = v Ö u T v ich N = − R 2 R 1 + ( 1 + R 2 R 1 ) R 3 R 3 + 1 C S

Dies vereinfacht sich nach ein wenig Algebra zu:

H ( S ) = S − R 2 R 1 R 3 C S + 1 R 3 C

Was zeigt, dass die Schaltung als aktives Filter mit einem Frequenzgang 1. Ordnung wirkt.

Eine solche Topologie wird beispielsweise verwendet, um Allpassfilter zu erstellen, wenn R 2 = R 1 .

BEARBEITEN

Die Ableitung der Endform von H(s) folgt:

H ( S ) = − R 2 R 1 + ( 1 + R 2 R 1 ) R 3 R 3 + 1 C S = − R 2 R 1 + R 1 + R 2 R 1 R 3 C S R 3 C S + 1 =

= − R 2 R 1 + ( R 1 + R 2 ) R 3 C S R 1 ( R 3 C S + 1 ) = − R 2 ( R 3 C S + 1 ) + ( R 1 + R 2 ) R 3 C S R 1 ( R 3 C S + 1 )

= − R 2 R 3 C S − R 2 + R 1 R 3 C S + R 2 R 3 C S R 1 ( R 3 C S + 1 ) = − R 2 + R 1 R 3 C S R 1 ( R 3 C S + 1 ) = R 1 R 3 C S − R 2 R 1 R 3 C S + R 1

Zähler und Nenner dividieren durch R 1 R 3 C wir bekommen:

H ( S ) = S − R 2 R 1 R 3 C S + R 1 R 1 R 3 C = S − R 2 R 1 R 3 C S + 1 R 3 C

Ich kann diese Funktion nicht finden, nachdem ich etwas Algebra gemacht habe. Können Sie die von mir gepostete Bearbeitung anhand Ihrer Lösung überprüfen? Was ist hier falsch?
Danke, das habe ich. Gibt es nun eine Möglichkeit, das Bode-Diagramm (Betrag und Phase) aus dieser Funktion abzuleiten, ohne die Werte der Widerstände und der Kapazität zu kennen? Wir kennen den Rest und den Pol, aber können wir sagen, ob R2/R1 kleiner oder größer als eins ist, um zu sehen, was zuerst kommt, der Pol oder der Rest?
Konstantinos - Beantwortung Ihrer Frage: Für R1 = R2 ist der Zähler die konjugiert komplexe Form des Nenners. Daraus können Sie ableiten, dass beide Beträge identisch sind und der Betrag der gesamten Allpassfunktion Eins ist. Was die Phase betrifft, können Sie mit w=0 beginnen, was einen Absolutwert von "-1" (Phase 180 Grad) ergibt. In ähnlicher Weise ist der Absolutwert für w gegen unendlich "+1" (Phase 0 Grad). Daher haben wir eine Phasenfunktion von 180 Grad bis 0 Grad (90 Grad bei der Polfrequenz 1/C*R3).
@LvW Für R1 = R2 und zum Phasen-Bode-Plot habe ich einen Einwand: Als Magnituden-Plot ist eine gerade Linie bei 20log (|-1 |) = 20log (1) = 0 dB von w = -oo bis w = +oo, Phasendiagramm sollte auch eine gerade Linie bei 180 Grad von w=-oo bis w=+oo sein, da der konstante Parameter (-1) von tf negativ ist. Diese Ergebnisse leiten sich von der Tatsache ab, dass R1 = R2, wodurch der Pol und der Rest einander entgegenwirken. Ich verstehe nicht, warum das Phasendiagramm für w=+oo auf 0 Grad gehen sollte
Konstantinos, Der Allpass ist kein Phasenminimumsystem (er hat eine Null im RHP). Daher können Sie die Phasenfunktion nicht aus dem Amplitudengang ableiten. Die Phase ist mit dem Verhältnis Im/Re zu berechnen. Dies ergibt eine arctan-Funktion zwischen 180 Grad und 0 Grad.

Denken Sie daran, dass ideale Operationsverstärker zwei Grundregeln befolgen:

  1. In beide Eingänge fließt kein Strom.

  2. Negative Rückkopplung zwingt die Spannung an jedem Eingang gleich zu sein.

Beginnen wir mit einem qualitativen Ansatz. Da es einen Kondensator gibt, können wir den Frequenzgang dieser Schaltung in drei Bereiche unterteilen – Niederfrequenz ( Z C ≫ R 3 ) , Mittelfrequenz ( Z C ≈ R 3 ) , und Hochfrequenz ( Z C ≪ R 3 ) .

Bei Gleichstrom wirkt der Kondensator wie ein offener Stromkreis, sodass der nicht invertierende Eingang mit Masse verbunden ist. In diesem Fall ist die Gegenkopplung ein einfacher invertierender Verstärker.

Bei hohen Frequenzen wirkt der Kondensator wie ein Kurzschluss, sodass der nicht invertierende Eingang direkt mit ihm verbunden ist v ich N . Es ist schwieriger zu sehen, aber in diesem Fall gibt Ihnen die negative Rückkopplung einen Spannungsfolger.

Bei mittlerer Frequenz geht der Frequenzgang vom invertierenden Eingang zum Spannungsfolger über. Wir erwarten, dass die Verstärkung von R2/R1 auf 1 geht und die Phase von 180 auf 0 geht. Hier müssen wir die Übertragungsfunktion unter Verwendung der Operationsverstärkerregeln ableiten. v + ist ziemlich einfach - C und R3 bilden einen Tiefpassfilter:

v + = v ich N R 3 R 3 + 1 S C = v ich N 1 1 + 1 S R 3 C

v − ist ein wenig kniffliger, aber es ist meistens dasselbe wie das Ableiten eines invertierenden Verstärkers:

v ich N − v − R 1 = v − − v Ö u T R 2
( R 1 + R 2 ) v − = R 1 v Ö u T + R 2 v ich N

Nun verbinden wir unsere beiden Gleichungen mit:

v + = v −

v ich N 1 1 + 1 S R 3 C ( R 1 + R 2 ) = R 1 v Ö u T + R 2 v ich N

Ab hier ist es nur noch eine Frage der Algebra. Es liegt an Ihnen, wie Sie das Ergebnis ausdrücken möchten, aber eine Möglichkeit, die einfach zu verstehen ist, ist:

v Ö u T v ich N = ( D C   G A ich N ) + ( A C   G A ich N ) ∗ ( F R e Q u e N C j   R e S P Ö N S e )

(Beachten Sie, dass Lorenzos Form wahrscheinlich häufiger in der Signalverarbeitung vorkommt, aber ich mag diese für Bildungszwecke.) Hier ist meine Ableitung:

v ich N R 1 + R 2 1 + 1 S R 3 C = R 1 v Ö u T + R 2 v ich N

v Ö u T = − R 2 R 1 v ich N + v ich N R 1 R 1 + R 2 1 + 1 S R 3 C

v Ö u T = − R 2 R 1 v ich N + v ich N 1 + R 2 R 1 1 + 1 S R 3 C

v Ö u T v ich N = − R 2 R 1 + ( R 2 R 1 + 1 ) 1 1 + 1 S R 3 C

Wenn s -> 0, wird die Verstärkung zu:

v Ö u T v ich N = − R 2 R 1 + ( R 2 R 1 + 1 ) ∗ 0 = − R 2 R 1

Wenn s -> unendlich, wird die Verstärkung zu:

v Ö u T v ich N = − R 2 R 1 + ( R 2 R 1 + 1 ) ∗ 1 = 1

Das ist das Verhalten, mit dem wir zu Beginn gerechnet haben, was ein gutes Zeichen dafür ist, dass ich die Algebra richtig gemacht habe. :-) Sie können auch mit Excel oder einem anderen Tool vergleichen, was Sie in CircuitLab erhalten. Die Durchführung einer Frequenzgangsimulation in CircuitLab ist wahrscheinlich der einfachste Weg, um mit einer unbekannten Filterschaltung zu beginnen.

Wenn wir es Schritt für Schritt betrachten, bilden R1 und R2 einen invertierenden Verstärker mit der Verstärkung -R1/R2. Den nicht invertierenden Eingang bildet ein Hochpass-RC-Filter. Abhängig davon, wie Vin aussieht (dh ob es eine AC- und DC-Komponente gibt), subtrahiert das resultierende Vout den invertierenden Eingang von der Hochpasskomponente.

Im Grunde ist dies ein wirklich schlechter Hochpass-Differenzverstärker. Ich würde C und R3 entfernen und es in eine Vorverstärkerstufe in nicht invertierender Konfiguration aufteilen, um die Verstärkungsstufe von R1 und R2 nicht zu laden.

Hier kommt der einfachste Weg, um die Übertragungsfunktion H(s) zu finden:

Aus der Rückkopplungstheorie für ideale Opamps wissen wir das

H(s) = –Hin/Hf

mit Eingangsfunktion (Vout=0) Hin=R3/(R3+1/sC)-R2/(R1+R2)

und Rückkopplungsfunktion (Vin=0) Hf=-R1/(R1+R2).

Daraus ergibt sich das Verhältnis (nach einigen einfachen Manipulationen)

H(s)=-Hin/Hf=(sCR1R3-R2)/(sCR1R3+R1).

Wenn Sie R1=R2 einstellen, ist dies die Übertragungsfunktion für einen invertierenden Allpass (Einheitsbetrag, Phase von 180 Grad bis 0 Grad).

Analysieren einer Operationsverstärkerschaltung (Übertragungsfunktion), die nicht den Grundfällen entspricht
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