Anwendung des Satzes von Noether für ein relativistisches Punktteilchen

Question

Anwendung des Satzes von Noether für ein relativistisches Punktteilchen

chaveroche

Betrachten wir eine relativistische Punktteilchenwirkung

S = - M C \int \sqrt{- \frac{D z^{μ}}{D σ} \frac{D z_{μ}}{D σ}} D σ

$\begin{equation} S= -mc\int \sqrt{-\frac{dz^\mu}{d\sigma}\frac{dz_\mu}{d\sigma}} d\sigma \end{equation}$ für einen beliebigen Kurvenparameter

σ

$\sigma$ und wir verwenden die meist positive Metrik. Mein Ziel ist es, die Gesamtenergie durch das Noethersche Theorem durch Betrachtung zu finden

δ z^{μ}

$\delta z^\mu$ Übersetzungen beschränkt auf die Symmetrievariation :

δ z^{0} = c ϵ, δ z^{i} = 0

$\delta z^0 = c\epsilon~,\delta z^i=0$ . Die Berechnung besteht aus drei Teilen: 1) Finden Sie den gesamten Randterm in der Variation der Aktion und 2) Finden Sie heraus, wie sich die Lagrange-Funktion unter der Symmetrievariation transformiert. 3) Konstruieren Sie die Noether-Ladung. Also haben wir :

Gesamtvariation :
$δ S = - M C \int D σ \frac{D}{D σ} [\frac{z^{μ}}{\sqrt{- {\dot{z}}_{μ} {\dot{z}}^{μ}}}] δ z_{μ}$ $\begin{equation} \delta S = -mc \int d\sigma \frac{d}{d\sigma} \left[\frac{z^\mu}{\sqrt{-\dot{z}_\mu\dot{z}^\mu}}\right] \delta z_\mu \end{equation}$ und dies bringt den Grenzterm $Q = - ϵ \frac{M C^{3}}{\sqrt{- {\dot{z}}^{μ} {\dot{z}}_{μ}}} = - ϵ \frac{M C^{2}}{\sqrt{1 - \frac{{\dot{z}}_{ich}^{2}}{C^{2}}}} = - ϵ (γ M C^{2})$ $\begin{equation} Q= -\epsilon \frac{mc^3}{\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}}=-\epsilon \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{z}_i^2}{c^2}}}=-\epsilon( \gamma mc^2) \end{equation}$
Lagrange-Variation : Lagrange ist
$L = - M C \sqrt{- {\dot{z}}^{μ} {\dot{z}}_{μ}}$ $L=-mc\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}$ was bringt $δ L = \frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}^{μ}} δ {\dot{z}}^{μ} = M C \frac{{\dot{z}}^{μ} {\ddot{z}}_{μ}}{\sqrt{- {\dot{z}}^{μ} {\dot{z}}_{μ}}} ϵ = ϵ \frac{D}{D σ} L$ $\begin{equation} \delta L = \frac{\partial L}{\partial \dot{z}^\mu}\delta{\dot{z}^\mu}= mc \frac{\dot{z}^\mu \ddot{z}_\mu}{\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}}\epsilon = \epsilon \frac{d}{d\sigma}L \end{equation}$ wo wir verwendet haben $δ {\dot{z}}^{μ} = ϵ {\ddot{z}}^{μ}$ $\delta \dot{z}^\mu = \epsilon\ddot{z}^\mu$ und damit der Grenzterm $K = ϵ L$ $\begin{equation} K= \epsilon L \end{equation}$
Keine weitere Gebühr :
$E = K - Q = - M C^{2} \sqrt{1 - {\dot{z}}_{ich}^{2} / C^{2}} + M C^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - {\dot{z}}_{ich}^{2} / C^{2}}} = \frac{M {\dot{z}}_{ich}^{2}}{\sqrt{1 - {\dot{z}}_{ich}^{2} / C^{2}}} = γ M {\dot{z}}_{ich}^{2}$ $\begin{equation} E= K-Q = -mc^2\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2} + mc^2\frac{1}{\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2}} = \frac{m\dot{z}_i^2}{\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2}} = \gamma m \dot{z}_i^2\end{equation}$

Physikalisch würde ich erwarten, dass der Noether gleich der gesamten relativistischen Energie sein sollte

E = γ M C^{2}

$\begin{equation} E=\gamma mc^2 \end{equation}$ aber nicht

γ m {\dot{z}}_{i}^{2}

$\gamma m \dot{z}_i^2$ was mir als eine unsinnige Größe erscheint. Also, was läuft in der obigen Berechnung falsch?

Antworten (1)

Anwendung des Satzes von Noether für ein relativistisches Punktteilchen

QMechaniker · Answer 1

Für das, was es wert ist, hier ist eine einfache Ableitung:

Die 4-Stellung $x^{\mu}$ ist eine zyklische Variable für den Lagrange-Operator für massives relativistisches Punktteilchen $^1$
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} L_{0} = & - M_{0} C \sqrt{- {\dot{X}}^{2}}, \\ {\dot{X}}^{2} := & {\dot{X}}^{μ} η_{μ v} {\dot{X}}^{v}, \\ {\dot{X}}^{μ} := & \frac{D X^{μ}}{D λ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_0~=~&-m_0c\sqrt{-\dot{x}^2}, \cr \dot{x}^2~:=&~\dot{x}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}, \cr \dot{x}^{\mu}~:=~&\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}.\end{align}\tag{1}$
Der Satz von Noether ergibt dann, dass die entsprechende Noether-Ladung der 4-Impuls ist
$\begin{matrix} (2) & P_{μ} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{μ}} = \frac{M_{0} C {\dot{X}}_{μ}}{\sqrt{- {\dot{X}}^{2}}} . \end{matrix}$ $p_{\mu}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}~=~\frac{m_0c\dot{x}_{\mu}}{\sqrt{-\dot{x}^2}}.\tag{2}$
Im statischen Messgerät $\lambda=t=\frac{x^0}{c}$ , Gl. (2) ist der Standardausdruck für den 4-Impuls . Insbesondere die 0-Komponente (mal $c$ )
$\begin{matrix} (3) & P^{0} C = M_{0} γ C^{2} \end{matrix}$ $p^0c~=~m_0\gamma c^2\tag{3}$ ist die Gesamtenergie, vgl. Frage von OP.

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$^1$ Wir verwenden die Vorzeichenkonvention $(-,+,+,+)$ für die Minkowski-Metrik $\eta_{\mu\nu}$ .

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chaveroche

Antworten (1)

QMechaniker

Wie hängt die Zeitkomponente des Raumzeitintervalls in einem Raumzeitdiagramm mit der Zeitkomponente des Energie-Impuls-4-Vektors zusammen?

Bedeutet die Energieerhaltung die Massenerhaltung?

Problem mit dem Satz von Noether zum Beweis der Energieerhaltung

Gesamtenergie in rheonomischen Systemen

Sind Teilchen eine Abstraktion von Energie oder existieren ihre Materien tatsächlich?

Was ist der Grund dafür, warum Energie immer gespart werden muss, abgesehen von der Beobachtung? [Duplikat]

Warum widerspricht E=mc2E=mc2E = mc^2 nicht dem Massenerhaltungssatz?

Beweisen Sie die Energieerhaltung mit dem Satz von Noether

Schließt die Zeitinvarianz auf Energieerhaltung? [geschlossen]

Kann E=mc2E=mc2E=mc^2 aus der Minkowski-Raumzeitmetrik abgeleitet werden? s2=x2+y2+z2−(ct)2s2=x2+y2+z2−(ct)2s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2?