Anwendung komplexer Zahlen [geschlossen]

Wenn Sie Wirkleistung und Imaginärleistung betrachten, sprechen wir über Widerstandsleistung und Blindleistung mit Energie, die in Induktoren und Kondensatoren gespeichert ist. Die Vektorsumme aus beiden wird als "Scheinleistung" bezeichnet.

Auch in mechanischen Systemen gibt es komplexe reziproke Geräte mit gespeicherter Energie in Schwungrädern oder Federn. Induktivitäten und Kondensatoren ähneln sich darin, dass sie Energie speichern können, die in der Mathematik als imaginärer Wert bezeichnet wird.

Aber wenn ein Induktor Strom und Lichtbögen öffnet, verwandelt er sich in echte Energie, ähnlich wie das Kurzschließen eines Kondensators in einen Widerstand. Obwohl dies ein grobes Beispiel ist, wie das Anbringen einer Brechstangenbremse über einem Schwungrad.

Wenn Sie kein Exemplar der Bände von Feynman's Lectures on Physics besitzen , würde ich Ihnen wärmstens eines empfehlen.

Er führt auf brillante Weise komplexe Zahlen in Vol. 1, „22-5 Komplexe Zahlen“ . Aber im nächsten Abschnitt „22-6 Imaginäre Exponenten“ macht er die folgende berühmte Behauptung:

Wir fassen damit die bemerkenswerteste Formel der Mathematik zusammen:

$$\begin{equation} \label{Eq:I:22:9} e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \end{equation}$$ Das ist unser Juwel.

Es gibt hier zu viel zu behandeln, aber ich verweise Sie auf diesen Vortrag, in dem er die obige Formel in Bezug auf Wechselstromkreise anwendet: Band 2. 22 - Wechselstromkreise

Ein Ausschnitt:

Einige der Eigenschaften elektrischer Schaltungen haben wir bereits in den Kapiteln 23 und 25 von Bd. I. Jetzt werden wir einige der gleichen Materialien noch einmal behandeln, aber in größerem Detail. Wieder werden wir uns nur mit linearen Systemen und mit Spannungen und Strömen befassen, die alle sinusförmig variieren; Wir können dann alle Spannungen und Ströme durch komplexe Zahlen darstellen, indem wir die Exponentialschreibweise verwenden, die in Kapitel 23 von Vol. 2 beschrieben wird. I. Somit wird eine zeitlich veränderliche Spannung V(t) geschrieben

$$\begin{equation} \label{Eq:II:22:1} V(t)=\hat{V}e^{i\omega t}, \end{equation}$$ Wo $$\hat{V}$$ stellt eine komplexe Zahl dar, die unabhängig von t ist . Es versteht sich natürlich, dass die tatsächliche zeitlich veränderliche Spannung V(t) durch den Realteil der komplexen Funktion auf der rechten Seite der Gleichung gegeben ist.

In ähnlicher Weise wird davon ausgegangen, dass alle unsere anderen zeitvariablen Größen sinusförmig mit der gleichen Frequenz ω variieren. Also schreiben wir $$\begin{equation} \begin{aligned} I&=\hat{I}\,e^{i\omega t}\quad(\text{current}),\\[3pt] \xi&=\hat{\xi}\,e^{i\omega t}\quad(\text{emf}),\\[3pt] E&=\hat{E}\,e^{i\omega t}\quad(\text{electric field}), \end{aligned} \label{Eq:II:22:2} \end{equation}$$ usw.

Meistens schreiben wir unsere Gleichungen in Form von V, I, ξ, ... (statt in Form von V̂, Î, ξ̂, ...), wobei wir uns jedoch daran erinnern, dass die Zeitvariationen wie in ( 22.2).

In unserer früheren Erörterung von Schaltungen sind wir davon ausgegangen, dass Ihnen Dinge wie Induktivitäten, Kapazitäten und Widerstände bekannt sind. Wir wollen uns nun etwas genauer ansehen, was mit diesen idealisierten Schaltungselementen gemeint ist. Wir beginnen mit der Induktivität.

• Hinweis: Behandeln Sie dies nicht als Antwort, sondern als ergänzende Referenz

Zum einen macht es die Mathematik viel einfacher. Denken Sie zum Beispiel an das Lösen von Differentialgleichungen. Es ist viel einfacher, die Laplace-Transformation zu verwenden und die Differentialgleichung zu lösen, als klassische Techniken zu verwenden. Zum gleichen Thema gibt es eine andere Perspektive für das gleiche Problem aus Sicht des Frequenzbereichs.

Es gibt auch Tools wie Bode-Plots, die schnell Annäherungen an das Verhalten eines Systems im Frequenzbereich liefern.

Bei Zeitbereichsanalysen wird alles in reellen Zahlen ausgedrückt – Spannungen, Ströme, Widerstände, denn das sind immer einfache Momentanwerte. Wenn Sie eine Frequenzbereichsanalyse durchführen , kommen komplexe Zahlen ins Spiel, da Größen wie Spannungen, Ströme und Impedanzen sowohl eine Größe als auch eine Phase haben; Das Ausdrücken solcher Größen als komplexe Zahlen hilft bei der Durchführung von Berechnungen.