Anzahl der Möglichkeiten, an zwei Tischen zu sitzen

Question

Anzahl der Möglichkeiten, an zwei Tischen zu sitzen

Lukas Collins

Ich hatte einige Schwierigkeiten mit dem folgenden Kombinatorik-/Wahrscheinlichkeitsproblem (das ich mir selbst ausgedacht habe, um es Studenten bei einem Test zu geben). Ich denke, ich werde sie etwas lockerer machen und ihnen eine einfachere geben, aber ich bin immer noch unzufrieden damit, keine Antwort gefunden zu haben.

Frage : An zwei Esstischen im Bistrot La Renaissance finden jeweils acht Personen Platz. Wenn acht Paare ankommen und ihre Plätze zufällig zugewiesen werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens fünf der Paare denselben Tisch teilen (dh mindestens fünf Partnerpaare sitzen nicht an getrennten Tischen)?

Ich habe mir so gedacht:

Der Nenner : Dieser ist ganz einfach. Jede Verteilung kann man sich als 16-stellige lange Binärsequenzen vorstellen, wobei jede Ziffernposition jede Person darstellt und der Wert jeder Ziffer die bezeichnete Tabelle darstellt ( $0$ für den ersten Tisch, $1$ zum zweiten).

Zum Beispiel, $1111111100000000$ stellt die ersten 8 Personen dar, die am Tisch sitzen $1$ , und die zweiten 8 Personen sitzen am Tisch $0$ . Daher können wir hier einfach verschiedene Permutationen dieses Beispielworts betrachten - da jede eine Möglichkeit darstellt und alle Möglichkeiten auf diese Weise dargestellt werden können. Damit ist der Nenner

\frac{16!}{8! \times 8!} = (\binom{16}{8}) = 12870.

$\frac{16!}{8!\times8!}={16\choose 8}=12870.$

Der Zähler : Hier bin ich hängen geblieben. Wir können unsere Leute so umbenennen, dass ihre Position in der binären Sequenz ist

$\underset{Couple 1}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 2}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 3}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 4}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 5}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 6}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 7}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 8}{\underset{⏟}{____}} .$

Nun gibt es die folgenden zwei zulässigen Fälle:
1. Vier Paare sitzen am selben Tisch (nehmen alles für sich) und das andere Paar sitzt am anderen.
2. Drei Paare sitzen am selben Tisch, zwei sitzen am anderen.

Das ist so ziemlich alles, was ich bekommen habe. Ich bin mir nicht sicher, wie ich diese Fälle angehen soll, wenn ich die Konstruktion der binären Sequenz betrachte. Vielleicht gibt es eine einfachere Möglichkeit, die Sitzgelegenheiten darzustellen? Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

drhab

Hast du hier mal reingeschaut ?

Lukas Collins

@drhab Ah, also ist es schwieriger als ich dachte. Danke.

Lukas Collins

@drhab Aber dieses Argument ist ziemlich allgemein. Vielleicht kann man in dieser Situation das Problem in Fällen angehen?

drhab

Ja, Ihr eingeschränktes Problem ist immer noch ziemlich herausfordernd und vielleicht einfacher zu lösen. Deshalb erkläre ich Ihre Frage nicht zum Duplikat.

Antworten (1)

Anzahl der Möglichkeiten, an zwei Tischen zu sitzen

@drhab Aber dieses Argument ist ziemlich allgemein. Vielleicht kann man in dieser Situation das Problem in Fällen angehen?
Ja, Ihr eingeschränktes Problem ist immer noch ziemlich herausfordernd und vielleicht einfacher zu lösen. Deshalb erkläre ich Ihre Frage nicht zum Duplikat.

drhab · Answer 1

Beachten Sie, dass die Anzahl der Paare an Tisch 1 der Anzahl der Paare an Tisch 2 entspricht, also brauchen Sie $3$ oder $4$ Paare an einem Tisch.

Lassen Sie zuerst die Damen Platz nehmen und wählen Sie aus $8$ Stühle für die Frauen.

Zuerst schauen wir uns das Ergebnis genau an $3$ Frauen an irgendeinem Tisch, der Wahrscheinlichkeit hat: $2\frac{\binom83\binom85}{\binom{16}{8}}$ .

Wählen Sie in dieser Situation $3$ aus dem $8$ freie Plätze für ihre Ehemänner.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit ihren Frauen am selben Tisch sitzen, ist hoch $\frac{\binom53\binom30}{\binom83}$ .

Nun schauen wir uns das Ergebnis genau an $4$ Frauen an beiden Tischen mit Wahrscheinlichkeit: $\frac{\binom84\binom84}{\binom{16}{8}}$ .

Wählen Sie in dieser Situation $4$ aus den freien Plätzen für die Ehemänner der Frauen an Tisch 1.

Wahrscheinlichkeit das $3$ von ihnen gesellen sich zu ihren Frauen ist: $\frac{\binom43\binom41}{\binom84}$ .

Wahrscheinlichkeit das $4$ von ihnen schließen sich ihren Frauen an $\frac{\binom44\binom40}{\binom84}$ .

Andere Situationen sind nicht relevant und wir landen bei der Wahrscheinlichkeit:

2 \frac{(\binom{8}{3}) (\binom{8}{5})}{(\binom{16}{8})} \times \frac{(\binom{5}{3}) (\binom{3}{0})}{(\binom{8}{3})} + \frac{(\binom{4}{4}) (\binom{4}{0})}{(\binom{8}{4})} \times [\frac{(\binom{4}{3}) (\binom{4}{1})}{(\binom{8}{4})} + \frac{(\binom{4}{4}) (\binom{4}{0})}{(\binom{8}{4})}]

$2\frac{\binom83\binom85}{\binom{16}{8}}\times\frac{\binom53\binom30}{\binom 83}+\frac{\binom44\binom40}{\binom84}\times\left[\frac{\binom43\binom41}{\binom84}+\frac{\binom44\binom40}{\binom84}\right]$

Anzahl der Möglichkeiten, an zwei Tischen zu sitzen

Lukas Collins

drhab

Lukas Collins

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drhab

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drhab

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