Atom in Überlagerung: Ist es ein Atom-Photon-System und welche Rolle spielt die Umgebung?

Ein mögliches Modell, um zu beschreiben, was Sie wollen, ist die Jaynes-Cumming -Interaktion. Es beschreibt die Wechselwirkung eines Zwei-Ebenen-Systems (Ihres Atoms) mit einer einzigen elektromagnetischen Mode.

Ich nehme an, dass Feld und Atom resonant sind, sodass der gesamte Hamiltonoperator in das Schrödingër-Bild geschrieben wird:

$$H=-\frac{\hbar \omega}{2} \sigma_z + \hbar \omega a^{\dagger} a + \frac{\hbar \Omega_0}{2}\left( a \sigma_+ + a^{\dagger} \sigma_- \right)$$

Aber ich werde in Betracht ziehen, in Bezug auf das Interaktionsbild zu arbeiten$-\frac{\hbar \omega}{2} \sigma_z + \hbar \omega a^{\dagger} a$Um die Diskussion zu vereinfachen, ist der Hamiltonian in diesem Fall einfacher:

$$H_{JC}=\frac{\hbar \Omega_0}{2}\left( a \sigma_+ + a^{\dagger} \sigma_- \right)$$

Wo der Betreiber$a$ist der Vernichtungsoperator, der ein Photon im Feld zerstört:

$$a|n\rangle = \sqrt{n} |n-1 \rangle$$

Und$a^{\dagger}$erzeugt eine Erregung:

$$a^{\dagger}|n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$$

Von nun an gehe ich von diesem Hamiltonoperator aus$H_{J.C}$um die Dynamik zu beschreiben . Wenn Sie in das Interaktionsbild gehen, entspricht dies der Vernunft im Labor in einem rotierenden Rahmen, sodass Sie es als einen Rahmenwechsel sehen können.

Kenntnis der Entwicklung der Staaten$|e,n\rangle$Und$|g,n\rangle$Im Prinzip können wir die Entwicklung jedes anfänglichen Atomzustands für jeden Feldzustand ableiten.

Das kann man mit zeigen$\Omega_n \equiv \Omega_0 \sqrt{n+1}$, und wo ich nach Konvention nehme$n<0$:$|n\rangle=0$

$$e^{-\frac{i H_{JC} t}{\hbar}}|e,n\rangle=\cos(\frac{\Omega_n t}{2}) |e,n \rangle - \sin(\frac{\Omega_n t}{2}) |g,n+1 \rangle$$

Und:

$$e^{-\frac{i H_{JC} t}{\hbar}}|g,n\rangle=\sin(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |e,n-1 \rangle + \cos(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |g,n \rangle$$

Um Ihre Frage zu beantworten: Wenn Sie eine bestimmte feste Anzahl von Photonen in Ihrem Feld haben, werden Sie sehen, dass ein anfänglicher Atomzustand mit dem Feld verschränkt wird :

$$|g,n \rangle \to \sin(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |e,n-1 \rangle + \cos(\frac{\Omega_{n-1} t}{2}) |g,n \rangle$$

Um Ihre Frage nun genau zu beantworten: Es ist nicht möglich, die gewünschte Transformation mit einer festen Photonenzahl im Feld durchzuführen (wenn Sie mit Photon einen Fock-Zustand meinen). Ein physikalischer Grund dafür ist, dass es das Messpostulat von QM verletzen würde. Tatsächlich würde es bedeuten, dass Sie durch Messen, ob das Feld Photonen absorbiert oder entspannt, in der Lage wären, abzuleiten, in welchem ​​​​Zustand sich das Atom nach der Wechselwirkung befindet, ohne das Atom zu stören. Zum Beispiel hier, wenn ich die Anzahl der Photonen in meinem Feld messe, wenn ich finde$n$, es projiziert mein Atom hinein$|g \rangle$. Wenn ich ... finde$n-1$es projiziert es hinein$|e\rangle$. Dass wir das Messpostulat nicht verletzen, liegt gerade an der Verschränkung: Das Atom gerät nach der Wechselwirkung in einen gemischten Zustand.

Was Sie tun müssen, um die gewünschte Transformation durchzuführen, ist, das Feld in einem kohärenten Zustand zu betrachten, dh ein Feld:

$$|\alpha \rangle = \sum_n c_n |n \rangle$$

Mit$c_n = e^{-|\alpha|^2} \alpha^n / \sqrt{n!}$

Die durchschnittliche Anzahl von Photonen in diesem Zustand ist$\overline{n}=|\alpha|^2$. Berechnung der Entwicklung von:$\left(a|0\rangle + b|1\rangle \right) |\alpha\rangle$für eine Zeit der Interaktion$t=\theta/(\Omega_0 \sqrt{\overline{n}})$ in der Grenze $\overline{n} \to +\infty$es ist möglich zu zeigen, dass der erhaltene Atomendzustand übereinstimmen wird

$$|g,\alpha\rangle \to \frac{1}{\sqrt{2}}(|g\rangle + |e \rangle) \otimes |\alpha\rangle$$

Dies ist einer der Gründe, warum kohärente Zustände als klassische Zustände angesehen werden: Im Grenzbereich großer Photonen reproduzieren sie die erwartete Dynamik eines als klassisch modellierten elektromagnetischen Feldes: dh sie reproduzieren eine klassische Rabi-Oszillation (das Atom bleibt in einem reinen Zustand ) .

Und hier, wie Sie sehen, verstößt es nicht gegen das Messpostulat, da sich das Feld vor und nach der Wechselwirkung im gleichen Zustand befindet. Beachten Sie, dass dies nicht wirklich gegen die Energieeinsparung verstößt, da dies hier in einer Grenze von passiert$\alpha \to \infty$. Für jeden festen (aber großen) Wert von$\alpha$Sie würden immer noch eine leichte Verschränkung zwischen Atom und Feld haben. Durch die Messung der Anzahl der Photonen im Feld hätte man Zugang zu Informationen über den Atomzustand und würde es auf analoge Weise wie zuvor "kollabieren" lassen.

Und die Summe der Energie im erhaltenen Feldzustand und im Zustand, in dem das Atom kollabiert ist, entspricht der Anfangsenergie, die Sie zu Beginn hatten (es ist eine analoge Situation wie die mit dem Fock-Zustand beschriebene).

Die Sache ist die, je mehr Energie Sie in das Feld stecken, desto weniger Verstrickung wird es geben. Sie haben absolut$0$Verschränkung nur in der theoretisch unendlichen Zahl der Photonengrenze.

In den meisten quantenmechanischen Umgebungen gibt es eine klare Trennung zwischen dem interessierenden System (z. B. einem Teilchen oder Molekül mit einer Art interner Struktur) und einer Art klassischem oder halbklassischem Hintergrund, auf dem sich die Wellenmechanik abspielt. Gegeben ist ein System, das irgendwie in einem anfänglichen (kohärenten) Zustand vorbereitet ist$\psi$, sagen wir mit Quantenzahlen$s, t, x$usw. ist die Ausgangsprämisse oft , dass sich das System einheitlich entwickelt. Diese Prämisse ist jedoch nicht trivial.

Allgemeiner wird der Zustand eines Quantensystems durch eine Dichtematrix beschrieben .$\hat \rho$, was die Möglichkeit zulässt, dass das System mit unbeobachteten (oder sogar unentdeckten) Freiheitsgraden verschränkt ist, die ebenfalls Quantenkorrelationen aufweisen.

In diesem Zusammenhang die Dichtematrix eines Systems$A$gedacht, indem man die Existenz einer Art dualen Systems postuliert$B$diese Art von komplettem System$A$, in dem Sinne, dass das gemeinsame System$AB$wird perfekt durch eine reine Wellenfunktion beschrieben$\psi_{AB}$und erfährt eine einheitliche Dynamik gemäß einem gemeinsamen Hamiltonian,$H_{AB}$. Gegeben$\psi_{AB}$Und$H_{AB}$führt man zunächst eine Art triviale Dichtematrix ein$\hat\rho_{AB}$für die$AB$System, definiert als das äußere Produkt von$\psi_{AB}$mit seinem hermiteschen Konjugat,$\psi_{AB}^*$: Sie können es sich als Projektion aus dem Hilbert-Raum des vorstellen$AB$System auf die eindimensionale Spanne von$\psi_{AB}$. Als nächstes wertet man die Teilspur aus$\hat\rho_{AB}$durch Summieren über die Quantenzahlen der$B$System. Das Ergebnis ist ein Objekt$\hat\rho_A$das beschreibt die Statistik der Messung der$A$System nach einer (unbekannten oder vergessenen) Messung der$B$System.

In dem von Ihnen beschriebenen System klingt es so, als ob das fragliche Photon (oder elektromagnetische Feld) keine ganz klassische Koordinate wäre. Um den vollständigen Quantenzustand tatsächlich zu beschreiben, könnte es daher notwendig sein, eine zusätzliche Quantenzahl in den Zustandsraum aufzunehmen, der den Zustand des Photons beschreibt: ob es absorbiert (dh "null") oder emittiert ("beobachtbar") ist. , und vielleicht ein damit verbundener 'Energie'- oder harmonischer Index (es sei denn, dies ist implizit bekannt: Es ist in gewisser Weise analog zur Tonhöhe einer Musiknote.) Wenn Sie das System / Photonen-Ensemble im vollständig absorbierten Zustand präparieren und erlaubte, dass es gemäß einem geeigneten Hamilton-Operator eine einheitliche Zeitentwicklung durchmacht, könnten Sie sehen, dass das System das Photon periodisch oder quasi-periodisch emittiert und wieder absorbiert (d. h$|g\rangle\rightarrow \frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle + |e\rangle)$Übergang (in einem etwas philosophisch verworrenen Sinne), indem er irgendwie den Zustand des Photons misst und eine Art partiellen Wellenfunktionskollaps des Systems auslöst und zufällig in den fällt$\frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle + |e\rangle)$Zweig der Realität, oder durch die Beobachtung des Systems in seiner$|g\rangle$Zustand in einem Moment und später irgendwie eine neue Messbasis auswählen (vielleicht durch clevere Interferometrie), so dass die neuen Zustände nach der Messung des Systems sind$\frac{1}{\sqrt 2}(|g\rangle \pm |e\rangle)$.

Beachten Sie, dass es auch möglich ist, den von Ihnen beschriebenen Übergang mit einem klassischen elektromagnetischen / Photonenfeld zu erzeugen, das dem Hamiltonian des Systems selbst (ohne Hilfsvariablen oder Photonen) einfach eine Störung hinzufügen würde. Dies konnte jedoch nicht reproduziert werden vollständiger Satz von quantenmechanisch erreichbarer und potenziell wünschenswerter Dynamik des Systems plus Photon mit dem System allein.