Aufschlüsselung der Geschwindigkeitskomponenten eines schwenkbaren Dominos, der sich um 90 ° im Uhrzeigersinn dreht

Ein fallender Dominostein hat eine Rotationsbeschleunigung von

$$\ddot{\theta} = \frac{3 g}{2 \sqrt{h^2 + w^2}} \sin \left( \theta - \tan^{-1} \left( \tfrac{w}{h} \right) \right)$$

Wo$g$ist die Schwerkraft,$h$ist die Dominohöhe,$w$ist die Dominobreite und$\theta$der Neigungswinkel. Das Obige wird in Bezug auf die Rotationsgeschwindigkeit gelöst, wenn man davon ausgeht, dass die anfängliche Rotationsgeschwindigkeit (nach dem Aufprall) ist$\omega$

$$\dot{\theta}^2 = \omega^2 + \frac{3 g}{h} \frac{h \sqrt{h^2+w^2}-w (s-w)-h \sqrt{h^2-(s-w)^2}}{h^2+w^2}$$

Wo$s$ist die Trennung zwischen Dominos (nicht die Lücke, sondern der Abstand zwischen den Zentren).

Der Trick ist jetzt für den fallenden Dominostein mit$\dot{\theta}$auf einen aufrechten aufprallen, was zu Geschwindigkeit führt$\omega$. Um diese zu finden, benötigt man die reduzierte Masse$\mu$des Systems entlang der Kontaktnormalen. Wenn jeder Domino Masse hat$m$, dann ist die reduzierte Masse

$$\frac{ \mu}{m} = \tfrac{h^2 (h^2+w^2)}{44 h^4 + 3 w^2 (s-w)^2 - h^2 (39 s^2-78 s w + 37 w^2)+6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2}(2 h^2 +3 w (s-w))}$$

Die Geschwindigkeit des Kontaktpunktes ist$v_{impact} =\dot{\theta} \sqrt{h^2 - (s-w)^2}$und das ausgetauschte Momentum$J = \mu\, v_{impact}$(unter der Annahme, dass der Restitutionskoeffizient gleich 0 ist)

Als Ergebnis ist die anfängliche (Dreh-)Geschwindigkeit des nächsten Dominosteins nach dem Aufprall

$$\omega = \frac{ \dot{\theta} 6 h^2}{h^2+w^2} \tfrac{ h (h^2+w^2) \sqrt{h^2-(s-w)^2}+2 h^4+2 h^2 s (2 w-s)-2 w^2 (s-w)^2}{44 h^2+3 w^2 (s-w)^2-h^2 (39 a^2-78 s w + 37 w^2) + 6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2} (2 h^2 +3 w (s-w))}$$

Kombiniere den 2. mit dem 4. Ausdruck von oben, um nach der anfänglichen Rotationsgeschwindigkeit des Dominos zu lösen

$$\omega^2 = \frac{ 1 - \tfrac{(h^2+w^2)^2 \left(6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2}(2 h^2+3 w (s-w))+44 h^2 - h^2 (39 s^2-78 s w+37 w^2)+3 w^2 (s-w)^2\right)^2}{36 h^4 \left(h (h^2+w^2) \sqrt{h^2-(s-w)^2}+2 h^4+2 h^2 s (2 w-s) -2 w^2 (s-w)^2 \right)^2}}{\tfrac{3 g (h \sqrt{h^2-(s-w)^2}-h \sqrt{h^2+w^2}+w (s-w)}{h (h^2+w^2)}}$$

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_{Referenz: Berechnen Sie die Kraft zwischen rotierenden Objekten und den impulsiven Drehimpuls .}