Verstehen, welche Schnur reißt, wenn man von unten an einem hängenden Block zieht

Einleitung:

Als Abschluss von Walter Lewins 6. Vorlesung über die Newtonschen Gesetze präsentiert er ein Experiment (gehen Sie zu 42:44), das mich verblüfft zurücklässt.

Experiment:

(Ich empfehle, das Video anzusehen; siehe Link oben.)

  • Da ist ein 2 kg-Block, an dem 2 identische Saiten befestigt sind: eine oben, die andere unten.
  • Die obere Saite ist an einer "Decke" und die untere an einem "Boden" befestigt.
  • Professor Lewin "dehnt" das System (indem er an der unteren Saite zieht), ohne dass der Block beschleunigt.
  • Eine Saite reißt.

Vorhersage:

  • Anfangs hat die oberste Saite eine Spannung von ca 20 N, um der Schwerkraft entgegenzuwirken. Die unterste Saite hat überhaupt keine Spannung.
  • Wenn Lewin dann an der untersten Saite zieht, bekommt es etwas Spannung n N. Um der Kraft entgegenzuwirken, die von der unteren Saite ausgeübt wird, übt nun die obere Saite aus 20 + n N.
  • Ich gehe davon aus, dass die Saite mit mehr Kraft früher nachgibt, was mich zu dem Schluss führt, dass die oberste Saite reißen wird.

Ergebnisse:

(Dies wurde von Lewin durchgeführt, nicht von mir; siehe Link oben.)

  • Versuch 1: Untere Saite reißt.
  • Versuch 2: Obere Saite reißt.
  • Versuch 3: Untere Saite reißt.

Zusätzliche Bemerkungen:

Die Ergebnisse scheinen nicht konsistent zu sein. Wenn ich richtig lag, würde ich erwarten, dass alle 3 Experimente richtig sind; Umgekehrt, wenn ich falsch lag, würde ich erwarten, dass alle 3 Experimente falsch sind, mit einer Ausnahme: Die Ergebnisse sind mehr oder weniger zufällig und ein Ergebnis wird dem anderen nicht vorgezogen.

Frage:

  • Warum war meine Vorhersage falsch?
  • Gab es einen Fehler in meiner Logik?
  • Warum waren die Ergebnisse widersprüchlich?
Es ist offensichtlich, dass zwischen den drei Versuchen etwas anders gewesen sein muss, sonst hätten sie das gleiche Ergebnis gehabt. Zwingen Sie uns nicht, ein Video anzusehen, um herauszufinden, was es war.
@ACuriousMind - Wie kann diese Frage dann beantwortet werden? Ich kann nicht alle wesentlichen Details angeben (weil ich nicht weiß, wonach ich suchen soll). Ich habe das Wesentliche der Ergebnisse angegeben, aber Details, die möglicherweise benötigt werden, erfordern etwa 5 Minuten, um ein Video anzusehen.
Der Unterschied liegt in der Geschwindigkeit, mit der der Zug geliefert wird: schnell, langsam, schnell.
Bitte hören Sie auf, Clickbait-Titel zu schreiben. Der Titel sollte eine genaue Beschreibung der Suchanfrage sein, kein vergebliches Streben nach Aufmerksamkeit. Es gibt sicherlich keinen Aufruf, den Namen des Demonstranten zu nennen.

Antworten (5)

Obwohl ich das Video nicht gesehen habe, stimmt die Beschreibung mit einem alten Wissenschaftstrick über Trägheit überein: Wenn Sie möchten, dass die obere Saite reißt, ziehen Sie langsam. Um die untere Saite zu reißen, ziehen Sie plötzlich - die Trägheit des Gewichts "schützt" die obere Saite für einen kurzen Moment.

Können Sie genauer erklären, wie dieses Phänomen funktioniert?

Ihre Vorhersagen über die Summe der Kräfte sind richtig, wenn sich nichts beschleunigt. Denn denken Sie darüber nach ... Sie addieren Kräfte, richtig? Das ist, was Sie in Newtons 1. Gesetz tun. Das ist das Gesetz, das nur gilt, wenn nichts beschleunigt.

Was wäre, wenn Ihnen gesagt würde, dass Sie Newtons 1. Gesetz im zweiten Fall nicht anwenden können ? Beschleunigt sich etwas im zweiten Fall?

Oder anders gesagt, versucht die Saite im zweiten Fall etwas zu beschleunigen?

Lösung

Wenn sich etwas beschleunigen soll, befinden wir uns im 2. Newtonschen Gesetz. Wenn nicht, Newtons 1. Gesetz. Schreiben wir es mit den Kräften von jeder Saite und jedem Gewicht auf w gegenwärtig:

− F u p + F d Ö w n + w = 0 − F u p + F d Ö w n + w = m a

(Ich hoffe, es ist in Ordnung, dass ich die y-Richtung nach unten gelegt habe.)

  • Wenn Sie langsam nach unten ziehen, passiert keine nennenswerte Beschleunigung der Box. F d Ö w n hat einen konstanten Wert. Es gleicht sich alles aus. Das 1. Gesetz.

  • Wenn Sie schnell nach unten ziehen, versucht die Box, schnell zu beschleunigen, um mitzufahren. Das bedeutet groß a . Das erfordert eine große Kraft, um es zu verursachen. Und die Kraft, die zu verursachen versucht, ist die F d Ö w n .

Sehen Sie sich diese beiden Gleichungen noch einmal an. Im ersten Fall F u p = F d Ö w n + w , also bricht die obere Saite. Im zweiten Fall F u p = F d Ö w n + w − m a . Hmm, hier wird der Teil abgezogen m a ...

Also ist F u p kleiner werden ? Nein , natürlich nicht, es hat seine Spannung und wächst nur, wenn man nach unten zieht. Eher F d Ö w n wird größer . Weil es versucht, das zu verursachen a .

Und wie Sie sehen, versucht es, kann aber einfach nicht genug Kraft aufbringen, um diese Beschleunigung zu verursachen. Die notwendige Kraft in der unteren Saite ist größer als die Stärke der Saite, also reißt sie.

"Das ist es, was Sie in Newtons 1. Gesetz tun. Das ist das Gesetz, das nur gilt, wenn nichts beschleunigt wird." Das ergibt für mich keinen Sinn. Wir verwenden immer noch das 2. Gesetz, wenn sich nichts beschleunigt; Wir wissen nur, dass die Beschleunigung gleich Null ist und daher die Nettokraft Null ist. Und in Bewegung gilt immer noch das erste Gesetz: Es besagt, dass es eine Kraft geben muss , wenn sich die Geschwindigkeit eines Objekts ändert; Ein Objekt wird ohne eine Kraft nicht auf die Geschwindigkeit Null abgebremst (entgegen der allgemeinen Annahme vor Newtons Arbeit). Wäre es nicht richtiger zu sagen, dass alle Gesetze immer gelten (in angemessener Größenordnung)?
@ jpmc26 "Wir verwenden immer noch das 2. Gesetz, wenn nichts beschleunigt; wir wissen nur, dass die Beschleunigung gleich Null ist und daher die Nettokraft Null ist." Na klar, und dann ist es das 1. Gesetz. Sie können den 1. Hauptsatz als Sonderfall des 2. Hauptsatzes betrachten, der nur ohne Beschleunigung gilt.
@ jpmc26 "Wäre es nicht angemessener zu sagen, dass alle Gesetze immer gelten (in angemessener Größenordnung)?" Ich bin mir nicht sicher, ob dies nur eine Diskussion über Worte ist oder wie? Wenn ich „anwenden“ sage, beziehe ich mich auf die Anwendung der Gesetze. Sie verwenden das 1. Gesetz nicht, wenn eine Beschleunigung stattfindet. Sie verwenden das erste Gesetz (oder das 2. Gesetz mit a = 0 , was gleich dem 1. Hauptsatz ist), wenn nichts beschleunigt. Ich habe das Gefühl, dass wir uns einig sind, aber dass Sie mit dem Wort "anwenden" nicht einverstanden sind?
Ja, ich stimme Ihnen bei den Konzepten/Ergebnissen zu. Ich fand diesen Teil nur umständlich. Nach meiner Lektüre schien es leicht, Ihre Antwort dahingehend falsch zu interpretieren, dass sie darauf hindeutet, dass sich die Gesetze irgendwie gegenseitig ausschließen, obwohl sie in Wirklichkeit zusammenarbeiten. Wenn Sie verstehen, was ich meine, dann würde vielleicht eine andere Wortwahl als „anwenden“ helfen, da das so etwas wie ein geladenes Wort ist.
@ jpmc26 Ich verstehe den Punkt. Ich bin mir nicht sicher, ob dies ein großes Problem ist - ich glaube, das Wort "bewerben" wird häufig so verwendet. Wie auch immer, ich habe diese beiden Sätze leicht umformuliert, um Verwirrung zu vermeiden. Die Worte waren sowieso nicht wichtig.

Dies hat eine sehr einfache Erklärung, wenn es mithilfe der Fehlermechanik oder der Untersuchung, wie (warum) Dinge kaputt gehen, analysiert wird. Dinge brechen nicht aufgrund von Reaktionskräften, sie brechen aufgrund der inneren Kräfte aufgrund von Materialdurchbiegungen, die durch die Reaktionskräfte verursacht werden.

Die Materialdurchbiegung ist in diesem Fall die Längenänderung jeder Saite, wenn die Kraft ausgeübt wird. Diese Durchbiegung ist in Wirklichkeit sehr klein, aber wenn die untere Saite schnell gezogen wird, überschreitet die untere Saite ihre maximale Durchbiegung, bevor sie den 2-kg-Block bis zu dem Punkt beschleunigen kann, an dem die obere Saite ihre maximale Durchbiegung erreicht. Die Trägheit des Blocks ist einfach zu groß, um sie zu überwinden, und die untere Saite bricht, bevor die obere Saite Zeit zum Auslenken hat.

Wenn die Saite langsam gezogen wird, lässt es die Zeit zu, die der 2-kg-Block benötigt, um die oberste Saite abzulenken. In diesem Fall erfährt das System die Kraftbedingungen, die der Professor auf die Tafel gezeichnet hat. Die Spannung in der oberen Saite ist um eine Größe des Gewichts des Blocks größer als die untere, daher biegt sich die obere Saite weiter als die untere bis zum Punkt der maximalen Durchbiegung, an dem ein Versagen der oberen Saite auftritt.

Dieses Problem kann quantitativ modelliert werden. Wenn wir jedoch in der bereitgestellten Beschreibung annehmen, dass die obere Saite nicht dehnbar ist, ist das Problem statisch unbestimmt. Um dies zu überwinden, können wir also die obere Saite durch eine masselose Feder ersetzen. Im Ausgangszustand des Systems ist die Kräftebilanz:

T T 0 = m g
wo T T 0 ist die Anfangsspannung der obersten Saite. Wenn x die zusätzliche Verschiebung nach unten ist, die die Masse erfährt, nachdem auf die untere Saite Spannung ausgeübt wird, ist die Spannung in der oberen Saite gegeben durch:
T T = m g + k x
wobei k die (sehr hohe) Federkonstante ist. Sei F(t) die zeitabhängige Kraft, die die untere Saite auf die Masse ausübt, wobei F(t) bis zum Zeitpunkt t = 0 Null ist. Also ist die Kräftebilanz auf die Masse zu Zeiten größer als t = 0 :
m g + F ( t ) − ( m g + k x ) = m d 2 x d t 2
oder
d 2 x d t 2 + ω 2 x = F ( t ) m
wo ω 2 = k / m .

Lassen Sie uns als nächstes die Aufmerksamkeit auf den Fall beschränken, in dem die aufgebrachte Kraft in der unteren Saite bei konstant ist F ( t ) = F . Die Lösung für diesen Fall lautet:

x = F k ( 1 − cos ⁡ ω t )
Die zeitabhängige Spannung in der oberen Saite ist also:
T T = m g + F ( 1 − cos ⁡ ω t )
und die Spannung in der unteren Saite ist
T L = F

Beachten Sie, dass die maximale Spannung, die die obere Saite erreichen kann, mg + 2F beträgt, während die Spannung der unteren Saite F ist. Also, wenn F > T c r ich t (wo T c r ich t ist die kritische statische Spannung, damit eine Saite reißt), wird die untere Saite zuerst reißen. Aber selbst wenn F < T c r ich t (damit die untere Saite nicht reißt), die obere Saite kann trotzdem (nach sehr sehr kurzer Zeit) reißen, vorausgesetzt:

F > T c r ich t − m g 2
Endlich, wenn
F < T c r ich t − m g 2
keine Saite kann reißen.

Die Mathematik ist etwas über mir, aber verstehe ich richtig, dass die Differentialgleichung den allgemeinen Fall modelliert, der beispielsweise mit dem richtigen F (t) oszillieren könnte? Auch für F=const gibt es bei den meisten Anfangszuständen noch Oszillation -- einschließlich des gezeigten, dh Gleichgewichts für F=0. Wenn die obere Saite hält, bewegt sich die Masse über das neue Gleichgewicht hinaus und dann zurück und beginnt eine Schwingung (unter der Annahme, dass keine Reibung stattfindet).
Ja. Das ist das grundlegende Bild. Natürlich ist das mechanische Verhalten einer echten Saite etwas komplizierter, wo die Reibungswechselwirkungen zwischen den Filamenten, aus denen die Saite besteht, für eine Dämpfung sorgen, so dass alle Schwingungen schnell gedämpft würden (und das Last-Dehnungs-Verhalten einer Saite ist es nicht wirklich linear). Aber ich habe diese Modellierungs-Idealisierung erstellt (wobei die Saite als linear elastisch behandelt wird), damit wir ein konkreteres Verständnis dafür bekommen, was im Grunde passiert.

Angenommen, die momentanen Spannungen in den Ober- und Unterfäden sind T 1 und T 2 . Dann lautet die Bewegungsgleichung des schweren Blocks
M g + T 2 − T 1 = M a
Also
T 2 − T 1 = M ( a − g ) .

Wenn a > g dann T 2 > T 1 .

Verstehen, welche Schnur reißt, wenn man von unten an einem hängenden Block zieht
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