Ausbreitung eines Flat-Top-Laserstrahls im freien Raum

Question

Ausbreitung eines Flat-Top-Laserstrahls im freien Raum

Jaywalker

Ich habe einige Zeit damit verbracht, zu untersuchen, wie man ein Feldabbildungssystem entwirft, das ein Gaußsches Strahlprofil in einen Top-Hat-Strahl umwandelt. Es wäre jedoch auch sehr nützlich, ein sehr scharfes Super-Gauß-Profil für ein anderes Experiment zu haben.

Ich habe eine Seite gefunden (den Artikel von RP Photonics über Flat-Top-Beams ), auf der argumentiert wird, dass sich das Profil bei seiner Ausbreitung ändert, da der Top-Hat kein Freiraummodus der Helmholtz-Gleichung ist. Aus dem simulierten Modell ( Abbildung 1 ) und der Beschreibung des Autors sieht es für mich so aus, als würde der Zylinder zunächst zu etwas kollabieren, das einem Super-Gaußschen ähnelt, aber es ist ein bisschen handgewellt, um dies aus einem Intensitätsdiagramm abzuleiten.

Meine Frage ist jetzt: Hat jemand einen Vorschlag, wie man diese Simulation repliziert oder zumindest einen Weg findet, das spezifische Intensitätsprofil zu lösen, nach dem ich suche? Welche Gleichungen verwende ich und wie kann ich sie für eine rechnerische Lösung anwenden (ich vermute, die Lösungen müssen numerisch ausgewertet werden)?

Oder ist meine Argumentation alternativ einfach falsch und das Profil zieht sich nicht zu einem Super-Gaußschen zusammen, wenn sich der Strahl ausbreitet?

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Ausbreitung eines Flat-Top-Laserstrahls im freien Raum

flippiefanus · Answer 1

Die anfängliche Flat-Top-Funktion wird oft als Super-Gauß-Funktion angenommen

\exp (- \frac{R^{N}}{w^{N}}) .

$\exp\left(-\frac{r^n}{w^n}\right) .$ Leider sind Super-Gauß-Operatoren etwas unfreundlich in der Verwendung in analytischen Berechnungen. Es ist also wahrscheinlich besser, es numerisch zu begründen. Der einfache Grund dafür ist die sogenannte Strahlausbreitung:

Nehmen Sie die 2D-Fourier-Transformation der Funktion (numerisch: 2D-FFT)
Multiplizieren Sie mit dem Ausbreitungskern: $\exp\left(i\pi\lambda z r^2\right)$ Wo $r$ ist die radiale Koordinate in der Fourier-Domäne, $z$ ist die Ausbreitungsdistanz und $\lambda$ ist die Wellenlänge.
Führen Sie die inverse Fourier-Transformation durch, um das Feld neu zu erhalten $z$ -Standort.

Es gibt ein paar Feinheiten bei solchen numerischen Implementierungen, aber ich vertraue darauf, dass Sie sie herausfinden werden.

Meinst du nicht falten mit $\exp (i\pi {{r}^{2}}/\lambda z)$ im räumlichen Bereich oder multipliziere die Fourier Xform mit $\exp (-iz{{k}^{2}}\lambda /4\pi )$ ?
@BertBarrois: Das Problem ist die Notation. Deshalb sagte ich $r$ ist die radiale Koordinate im Fourier-Bereich . Also in Bezug auf Ihre Notation $|k|=2\pi r$ . Normalerweise $k$ ist die Wellenzahl $k=2\pi/\lambda$ . Der Vorzeichenunterschied im Exponenten wird durch die Phasenkonvention bestimmt.

Stift · Answer 2

So wie jedes Strahlprofil als Summe ebener Wellen ausgedrückt werden kann, kann es auch in Hermite-Funktionen zerlegt werden.

Betrachten Sie dazu einen Strahl, der sich in z-Richtung ausbreitet. Das elektrische Feld kann als Produkt einer Einhüllenden ausgedrückt werden $u$ und ein Träger $e^{ikz}$ :

E_{M, N} (X, j, z) = A \times u_{M, N} (X, j, z) \exp (ich k z)

$E_{m,n}(x,y,z) = A\times u_{m,n}(x,y,z) \exp\left( ikz \right)$ und die Ausbreitung der Hülle kann ausgedrückt werden als

u_{M, N} (X, j, z) = \sqrt{\frac{2}{w (z)}} ϕ_{N} (\frac{X \sqrt{2}}{w (z)}) ϕ_{M} (\frac{j \sqrt{2}}{w (z)}) \exp (ich k \frac{X^{2} + j^{2}}{2 R (z)}) \exp (- ich ψ_{M, N} (z)) (1)

$u_{m,n}(x,y,z)= \sqrt{\frac{2}{w(z)}} \phi_n(\frac{x\sqrt{2}}{w(z)}) \phi_m(\frac{y\sqrt{2}}{w(z)}) \exp\left(ik\frac{x^2 + y^2}{2R(z)} \right)\exp(-i \psi_{m,n}(z)) \quad (1)$ Wo

ψ_{M, N} (z) = (N + M + 1) \arctan \frac{z}{z_{R}} w (z) = w_{0} \sqrt{1 + \frac{z^{2}}{z_{R}^{2}}} R (z) = z + \frac{z_{R}^{2}}{z} z_{R} = \frac{π w_{0}^{2}}{λ}

$\psi_{m,n}(z) = (n+m+1) \arctan\frac{z}{z_R} \\ w(z)=w_0 \sqrt{1+\frac{z^2}{z_R ^2}} \\ R(z) = z + \frac{z_R ^2}{z} \\ z_R = \frac{\pi w_0 ^2}{\lambda}$ Und

ϕ_{n}

$\phi_n$ ist die Hermite-Funktion definiert als

ϕ_{N} (X) = (- 1)^{N} e^{X^{2}} \frac{D^{N}}{D X^{N}} e^{- X^{2}}

$\phi_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^{-x^2}$

Typischerweise z $n=m=0$ , stellen Sie die standardmäßige Gaußsche Ausbreitung wieder her.

All dies kommt von der Maxwell-Gleichung. Nun, es gibt einen Satz, dass jede Funktion $v(x,y)$ kann als Summe von Funktionen ausgedrückt werden $u_{n,m}$ :

v (X, j) = \sum_{N, M} C_{N, M} u_{N, M} (X, j, 0)

$v(x,y)=\sum_{n,m} \, C_{n,m} u_{n,m}(x,y,0)$ mit

C_{N, M} = \int u_{N, M}^{*} (X, j, 0) \times v (X, j) D X D j

$C_{n,m} = \int u^*_{n,m}(x,y,0)\times v(x,y) \,dxdy$

Sie sollten also v(x,y) als Zylinder nehmen und berechnen $C_{n,m}$ - Dies wird Ihnen sagen, wie sich Gaußsche Strahlen überlagern, um einen Zylinder zu ergeben $z=0$ . Dann sagt Ihnen die Ausbreitungsgleichung (1), wie diese Überlagerung von weg aussieht $z=0$ .

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Jaywalker

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flippiefanus

Bert Barrois

flippiefanus

Stift

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