Ausdruck für quasi monochromatische Welle: Abhängigkeit der Amplitude von der Zeit

Die Identität

$$E(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r},t)e^{i(\langle\omega\rangle t-\phi(\mathbf{r},t))}\tag{1}$$ braucht weder Herleitung noch Begründung; Stattdessen fungiert es als Ansatz für das elektrische Feld und als Definition für das Funktionspaar $$A(\mathbf{r},t)e^{-i\phi(\mathbf{r},t)}:=E(\mathbf{r},t)e^{-i\langle\omega\rangle t}.\tag{1'}$$ Nun, eine der seltsameren Macken der Mathematik (und der Mathematik der Physik) ist, dass Sie frei definieren können, was Sie wollen, egal wie seltsam es a priori erscheinen mag . Die einzige Voraussetzung ist, dass Sie diese Definitionen dann verwenden, um etwas Nützliches zu tun.

In diesem speziellen Fall$E(\mathbf r,t)$eine komplexwertige Funktion sowohl des Ortes als auch der Zeit ist, und da komplexe Zahlen eine Amplitude und eine Phase haben, schlägt sie einen Ansatz der Form vor$E(\mathbf{r},t)=C(\mathbf{r},t)e^{-i\varphi(\mathbf{r},t)}$würde so ziemlich null neue Informationen enthalten.

Ihr Ansatz in$(1)$, ist jedoch anders, weil Sie etwas nicht Triviales über die Struktur der Phase sagen, nämlich dass sie von der Form ist$\varphi(\mathbf{r},t) = \phi(\mathbf{r},t)-⟨\omega⟩t$, wo die Variation in$\phi$ist viel kleiner als die Mittenfrequenz. Hier ist der erste Kernpunkt: Dies ist nicht garantiert , dh es gibt viele denkbare Wellenformen, für die es keine Frequenz gibt$⟨\omega⟩$so dass das gilt. (Probieren Sie zum Beispiel Überlagerungen von quasi-monochromatischen Wellen bei unterschiedlichen Mittenfrequenzen oder kurze Pulse mit großer Bandbreite und starkem Zwitschern aus.) Ebenso gibt es keine Garantie dafür, dass Sie in der Lage sein werden, die zeitliche Variation der Amplitude zu begrenzen bezogen auf die Mittenfrequenz. (Schauen Sie sich zum Beispiel wieder ultrakurze Pulse an.)

Nun, nichts davon ist ein Problem, weil wir nicht hier sind, um einen Formalismus aufzubauen, der jede erdenkliche Wellenform verarbeiten kann. Aufbauend stattdessen auf den Hilfsdefinitionen in$(1)$, das Bit, das wirklich funktioniert, ist die Bedingung, dass

$$\left[\frac{1}{A} \frac{\partial A}{ \partial t},\frac{\partial \phi}{ \partial t} \right] \ll \langle\omega\rangle, \tag 3$$ und dies dient als Definition von quasi-monochromatischen Wellen. Auch hier haben Sie bisher nur Dinge definiert (in diesem Fall den Begriff quasi-monochromatisch), also müssen Sie auch hier nichts rechtfertigen *. Wenn der Autor seine Arbeit richtig macht, wird die Rechtfertigung stattdessen aus dem Nachweis kommen, dass quasi-monochromatische Wellen, die auf diese Weise definiert sind, nützliche Eigenschaften haben (was sie auch tun).

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*(erweiterte) Fußnote:

OK, vielleicht habe ich an diesem Punkt ein wenig gelogen. Sie müssen die Dinge, die Sie definieren, nicht wirklich begründen, aber wenn Sie Begriffe wiederverwenden, die frühere Konnotationen haben (oder die sich teilweise mit solchen Begriffen überschneiden), müssen Sie zeigen, dass Sie diese Begriffe nicht radikal ändern . Für quasi-monochromatische Wellen müssen Sie zeigen, dass Ihre Definition mit dem intuitiven Verständnis des Begriffs übereinstimmt.

Es gibt zwei Komponenten davon, und sie sind beide mathematisch.

• Einer ist ein Link zwischen den relevanten Zeitableitungen,$\frac{1}{A} \frac{\partial A}{ \partial t}$Und$\frac{\partial \phi}{ \partial t}$, und die Breite des Leistungsspektrums der Funktion$A(\mathbf{r},t)e^{-i\phi(\mathbf{r},t)}$.
• Die andere ist die Tatsache, dass eine Funktion mit multipliziert wird$e^{-i\langle\omega\rangle t}$im Zeitbereich ist äquivalent zum Verschieben seiner Frequenzbereichsdarstellung um$⟨\omega⟩$, was eine Folge des Faltungssatzes ist.

Beide können gezeigt werden und sind relativ vernünftige Theoreme, aber ich denke nicht, dass die technischen Details hier so wichtig sind. Letztendlich ermöglichen Ihnen diese mathematischen Fakten, Ihre Definition zu verknüpfen,$(3)$mit der physikalischen Tatsache, dass die Bandbreite Ihrer Wellenform viel kleiner ist als ihre Mittenfrequenz, was dem intuitiven Konzept von quasi-monochromatisch so nahe kommt, wie Sie es vernünftigerweise erreichen können.

In gewisser Weise ist dieses letzte Bit also die Rechtfertigung für die Definition.