Axiom 3. Verständnisschema

Wenn wir die Konstruktion von Russells Paradoxon mit Axiom 3 oben wiederholen, erhalten wir Folgendes:

$\forall x (x \in y \Leftrightarrow x \in z \land x \notin x)$

und es mit instanziieren$y$:$(y \in y \Leftrightarrow y \in z \land y \notin y)$, für einige$y$, was kein Widerspruch ist.

Können Sie sehen, warum? Die aus dem Axiom aufgebaute Formel behauptet dies für eine Menge$z$was auch immer wir finden können$y$das befriedigt es. Im Allgemeinen ist es genug, dass$z \notin z$: in diesem Fall können wir auswählen$z$selbst als Wert für$y$und die linke und die rechte Seite sind beide falsch, wodurch die Formel erfüllt wird.

Das Comprehension Axiom ist „zu liberal“, weil es die Existenz jeder Menge behauptet, für die wir eine Bedingung angeben können (die Formel$\phi$).

In Axiom 3 [dem sogenannten Spezifikationsaxiom (Schema) ] haben wir eine entscheidende Modifikation: die Spezifikationsformel$\phi$muss auf ein bereits vorhandenes Set angewendet werden$z$: Es erlaubt uns, aus dem Set herauszuschneiden$z$die Teilmenge$y$von allen und nur den Elementen, die befriedigen$\phi$.

Daher können wir es nicht verwenden, um Sets ex nihilo zu "erstellen" , sondern wir können es nur auf bereits vorhandene Sets anwenden.

Ein Beispiel wird sein$\emptyset$, dessen Existenz durch das entsprechende Axiom bestätigt wird: Wir haben keine Probleme damit, es als zu verwenden$z$in Axiom 3, genau weil$\emptyset \notin \emptyset$.